切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理（2020年10月整理）.pptx
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段,学习目标 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切 线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得 到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。,3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。,直线 AB 切O 于 P，PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 与圆有关的比例线段,1,，,8.圆幂定理：过一定点 P 向O 作任一直线，交O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积,|（R 为圆半径），因为叫做点对于O 的幂，所以将上述定理统称为,为常数| 圆幂定理。 【典型例题】,例1.如图1，正方形 ABCD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切 点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。,图1 解：由切线长定理知：AFAB1，EFCE 设 CE 为 x，在 RtADE 中，由勾股定理,，,，,2,例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么 CE cm。,图2 解：由相交弦定理，得 AEBECEDE AE6cm，BE2cm，CD7cm， ，, 即,，,CE3cm 或 CE4cm。 故应填3或4。 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。,。,例3.已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则 解：PP PACB， PACPBA，,，,。 又PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，由切割线定理，得,，,即， 故应填 PC。 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。,3,例4.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点，如果 PA： PB1：4，PC12cm，O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是 cm。,图3 解：PC 是O 的切线，PAB 是O 的割线，且 PA：PB1：4 PB4PA 又PC12cm 由切割线定理，得, ,，,PB4624（cm） AB24618（cm） 设圆心O 到 AB 距离为 d cm， 由勾股定理，得 故应填。 例5.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，（1）求证：；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。,图4,，即要证CEDCBE。,点悟：要证 证明：（1）连结 BE,4,（2）,。,又,，,厘米。 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。 例6.如图5，AB 为O 的直径，弦 CDAB，AE 切O 于 A，交 CD 的延长线于E。,图5,求证： 证明：连结 BD， AE 切O 于 A， EADABD AEAB，又 ABCD， AECD AB 为O 的直径 ADB90 EADB90 ADEBAD, CDAB,ADBC，,5,例7.如图6，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBCCDAB,图6,，显然要证PADPBA 和PCDPBC,点悟：由结论 ADBCCDAB 得 证明：PA 切O 于A， PADPBA 又APDBPA， PADPBA 同理可证PCDPBC PA、PC 分别切O 于 A、C PAPC, ADBCDCAB 例8.如图7，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于点D，过 D 点 作O 的切线交 AC 于 E。,图7 求证：BC2OE。 点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OAOB，只须证 AECE。 证明：连结 OD。 ACAB，AB 为直径 AC 为O 的切线，又 DE 切O 于 D EAED，ODDE OBOD，BODB 在RtABC 中，C90B ODE90,6, CEDC EDEC AEEC OE 是ABC 的中位线 BC2OE,例9.如图8，在正方形 ABCD 中，AB1，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点。 当DEF45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；,图8,解：由DEF45，得,，,DFEDEF DEDF 又ADDC AEFC,因为 AB 是圆 B 的半径，ADAB，所以 AD 切圆B 于点 A；同理，CD 切圆 B 于点 C。 又因为 EF 切圆 B 于点 G，所以 AEEG，FCFG。 因此 EGFG，即点 G 为线段 EF 的中点。 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题 1.已知：PA、PB 切O 于点 A、B，连结 AB，若 AB8，弦 AB 的弦心距3，则 PA（ ） A.B.C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ） A. 平 行 四 边 形 B. 矩 形 C. 菱 形 D. 梯 形 3.已知：如图1直线 MN 与O 相切于 C，AB 为直径，CAB40，则MCA 的度数（ ）,图1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55,7,4.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果 E 是 AD 的延长线与 ABC 的外接圆的交点，那么 DE 长等于（ ） A.B. C.D. 6. PT 切O 于 T，CT 为直径，D 为 OC 上一点，直线 PD 交O 于B 和 A，B 在线段 PD 上，若 CD 2，AD3，BD4，则 PB 等于（ ）,A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题,7. AB、CD 是O 切线，ABCD，EF 是O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则EOF 度。 8.已知：O 和不在O 上的一点 P，过P 的直线交O 于 A、B 两点，若 PAPB24，OP5， 则O 的半径长为 。 9.若 PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 割线交O 于 B、C，若 BC20，则 PC 的 长为 。 10.正ABC 内接于O，M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O 于点 D，连结 BD 交 AC 于 P， 则 。 三、解答题 11.如图2，ABC 中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N 是ABC 与内切圆的切点，DE 切O 于点 M，且DEAC，求 DE 的长。,图2,8,12.如图3，已知 P 为O 的直径 AB 延长线上一点，PC 切O 于C，CDAB 于 D，求证：CB 平分 DCP。,图3 13.如图4，已知 AD 为O 的直径，AB 是O 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若 AB，求O 的半径。,图4,9,【试题答案】 一、选择题 1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 二、填空题,7. 90 8. 1 9. 30 10. 三、解答题： 11.由切线长定理得BDE 周长为4，由BDEBAC，得 DE1cm 12.证明：连结 AC，则 ACCB,CDAB，ACBCDB，A1 PC 为O 的切线，A2，又12， BC 平分DCP 13.设 BMMNNCxcm 又 又OA 是过切点A 的半径，OAAB 即 ACAB,在RtABC 中，由勾股定理，得，,由割线定理：,，又,半径为,。,10,
