条件概率、全概率公式与贝叶斯公式(最新-编写)
12页1、2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小 的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如 果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然 这类现象是常有的. 例1 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果 =从中任选一个是色盲, =从中任选一个是女性,此时, . 如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且 记为) 自然是. 例2 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至 少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问 题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就 是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为 对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概
2、率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时 发生的概率为 由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的 一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. 例3 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一 只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求 条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号:1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一 次、第二次分别取到第 号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 =(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2
3、),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3) =(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4) =(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2) 由条件概率公式得, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 例4 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率? (假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的) 解:据题意样本空间为 =(男,女),(男,男),(女,女),(女,男) =已知有一个是女孩=(男,女),(女,女),(女,男) =另一个小孩也是女孩=(女,女) 于是,所求概率为 三、条件概率的性质 (1)非负性:对任意的 (2)规范性: (3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有 证明:(1) 因为所以 (2)由于,所以 (3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 四、乘法公式 由条件概率的定义知: 设,则.于是, 这就是概率的乘法公式. 如果,同样有 设且则 证明 因为,依条件
4、概率的定义,上式的右 边 五、乘法公式的应用例子 例5 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打 破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求 透镜落下三次而未打破的概率. 解:以表示事件“透镜第 次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打 破”. 因为,故有 例6 设袋中装有 只红球, 只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次 取到白球的概率. 解:以表示事件“第 次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所 求概率为 例7 (卜里耶模型)罐中有只黑球, 只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出 的球同色之球 只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球 概率是多少? 解:以表示事件“第k次取到黑球”, 表示事件“第次 取到红球”,则 由一般乘法公式, 2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯
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