三角函数的图象与性质 .

1、,1.4 三角函数的图像与性质,执教： 克州一中 阿吉买买提,2,下面我们借助正弦线(几何法)来画出y=sinx在0，2上的图象.,S (x0，sinx0),1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像,为了更直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.,3,知道如何作出y=sinx的图象的一个点，就可以作出一系列的点，例如，在单位圆中，作出对应 于 的角及相应的正弦线, 相应地, 把x轴上从0到2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来，既得到正弦函数y=sinx在0，2区间上的图象，如图所示.,链接,4,最后我们只要将函数y=sinx， x 0，2的图象向左、右平移(每次2个单位)，就可以得到正弦函数y=sinx， xR的图象，如图所示.,正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve).,正弦曲线,以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以利用图形计算器、计算机作出正弦曲线.,5,用描点法(代数法)作出正弦函数在0，2上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象.,(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,(五点

2、法),由上图可以看出，函数y=sinx，x0，2的图象上起着关键作用的点有以下五个:,(0，0)， ( ，1) ，( ，0)，( ，-1)， (2 ，0),6,观察正弦和余弦曲线(如下图) 的形状和位置,说出它们的异同点，,y=cosx,y=sinx,它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=1之间. 但它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点(0，1).,由cox=sin(x+ )，可知y=cosx图象向左平移 个单 位得到，余弦函数的图象叫做余弦曲线 .,y=cosx图象的最高点( 0，1)，与x轴的交点( ，0)， ( ，0), 图象的最低点(，1).,7,事实上，描出五点后，函数y=sinx，x0，2的图象形状就基本确定了，因此在精确程度要求不高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，今后，我们将经常使用这种“五点(画图)法”,例1 画出下列函数的简图： (1) y=1+sinx； (2) y=cosx x0，2 ),8,例2 用“五点法”画出下列函数的简图： y=sin2x x0，2 ),描点画图，然后由周期性得整个

3、图象(如图所示),y=sin2x,y=sinx,两图象有何关系？,9,练习1.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系: (1) y=sinx1 ； (2) y=2sinx.,y= sinx1,y=sinx,y=sinx1的图象可由正弦曲线向下平移1个单位.,10,y=sinx,y= 2sinx,2. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系: (2) y=2sinx.,y=2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.,11,2. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系: (1) y= 1+cosx ； (2) y=cos(x+ ).,y=1+cosx的图象可由余弦曲线向上平移1个单位.,可由余弦曲线上每一点向左平移 个单位得到.,y= 1+cosx,y=cosx,y=cosx,y= cos(x+ ),12,周期性的有关概念：,那么函数f(x)就叫做周期函数 (periodic function)，非零常数T叫做这个函数的周期(period).,一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零常数

4、T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x),最小正周期：对一个周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数，那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期.,正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (kz且k0) 都是它们的周期，它们最小的正周期都是2;正切函数也是周期函数，其最小的正周期是.,1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,13,说明: 当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值，函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数.,设f(x)是定义在实数集 D上的函数，若存在一个 常数T( T0)，具有下列性质: (1)对于任何的 xD，有(xT)D； (2)对于任何的 xD，有f(x+T)=f(x)成立，则f(x) 叫做周期函数.,若函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)= f(x)成立，则T就不是f(x)周期.,今后本书所说的周期，如果不加特别说明， 一般都是指函数的最小的正周期.,14,要重视 “ T0”且为常数这一条件， 若T=0，则f(x+T)=f(x)恒成立，函数值不变没有研究价值；若T为变数，则失去了周期的意义.,若函数y=f(x)

5、的周期为T，则y=Af(x+)的周期为 ，(其中A，为常数, 且A0，0),若在函数的定义域内至少能找到一个x ，使f(x+T)= f(x)不成立，我们就断然函数f(x) 不是周期 函数或T不是函数f(x)的周期.,15,y=sinx (xR),y=cosx (xR),定义域,值 域,周期性,xR.,y - 1, 1 .,T = 2.,我们得到正弦、余弦函数定义域、值域、周期:,y=sinx,y=cosx,16,正弦、余弦函数的奇偶性,y=sinx,sin(x)= sinx,y=sinx,是奇函数,cos(x)= cosx,y=cosx,是偶函数,定义域关于 原点对称,y=sinx,17,正弦函数的单调性,？,y=sinx (xR),增区间为 ， 其值从 1增至1.,减区间为 ， 其值从 1增至 1.,18,余弦函数的单调性,y=cosx (xR),？,增区间为，0 ，其值从 1增至1.,减区间为0 ， ，其值从 1增至 1.,+2k，2k，(kz),2k，2k+，(kz),19,正弦、余弦函数的对称轴、对称中心:,y=sinx,y=cosx,函数,轴、中心,20,(1) 先用“五点法

6、”画一个周期的图象，列表:,例1 用“五点法”画出下列函数的简图： (1) y=2cosx xR (2) y=sin2x xR,描点画图，然后由周期性得整个图象(如图所示),y=2cosx,y=cosx,两图象有何关系？,21,例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合： (1) y=cos ；,解 函数的y=cos 的最大值为1，,因为使cosz取得最大值的z的集合为: z|z=2k，kz，,令z = ， 由于 =2k，得 x= 6k.,所以，使函数 y=cos 取得最大值时自变量x 的集 合为: z | z = 6k，kz.,练习 函数y=sinx 的值域是 ( ) A.1, 1 B. ，1 C. D.,B,22,解 函数的y=2sin2x 的最大值为2(1)=3，,因为使sinz取得最小值的z的集合为:,令z =2x，由于2x= +2k，得,所以，使函数y=2sin2x 取得最小值时自变量x 的集合为:,例2 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合： (2) y=2sin2x.,练习 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量 x 的集合： (1) y=2s

7、inx； (2) y=2cos,23,例3不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0 (1) sin( ) sin( ) ; (2) cos( ) cos( ),又 y=sinx 在 上是增函数，,又 y=cosx 在0，上是减函数,解(1),24,(1) sin2500 sin2600 ; (2) cos cos,练习1不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) sin2500 与 sin2600 ; (2) cos 与 cos,练习2 利用函数的性质，比较下列各题中两个三角函数值的大小: (1) sin103045与 sin sin164030 ; (2) sin5080与 sin1440 ; (3) cos7600与 cos(7700)； (4) cos 与 cos .,(4) cos cos,sin103045sin sin164030,(2) sin5080 sin1440,(3) cos7600 cos(7700),25,解 (1) y=2sin(x ) = 2sinx，,例4 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(x )； (2) y=sin(2x+

8、),所以单调增区间为:,函数在 上单调递增.,函数在 上单调递减，,单调减区间为:,26,例4 求下列函数的单调区间：(2) y=sin(2x+ ),所以单调增区间为:,单调减区间为:,解 (2) 令z=2x + ，函数y=sinz的单调增区间为:,函数y=sinz的单调减区间为:,27,所以单调增区间为:,(3) y = sin(x + )；,解 (3) 令z=x + ，函数y=sinz的单调增区间为:,函数y=sinz的单调减区间为:,所以单调减区间为:,28,1.了解正弦函数图象(代数描点法、几何描点 法)、余弦函数图象(代数描点法、几何描点法、平移变换法)的画法除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出这节课讲授的“五点法”是比较常用的方法，应重点掌握,2.掌握正、余弦函数的性质：定义域、值域、 周期性、奇偶性、单调性，对称轴、对称中心，会求最小正周期.,回顾总结,求函数的单调区间：, 直接利用相关性质；, 复合函数的单调性；, 利用图象寻找单调区间.,29,3. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,奇函数,偶函数,+2k，2k，(kz),2k，2k+，(kz),函数,轴、中心,30,作 业: 教材P45 习题1.3 第 2 6题,爱拼才会赢！,31,y=sinx,y=|sinx|,探究拓展 1. 求函数y=|sinx|的单调区间,探究拓展 2.求函数y=|sin(x+ )|的单调区间,探究拓展 3.求下列函数的定义域：,

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