G215三重积分知识讲解
49页1、1,寄 语,假舟楫者,非能水也,而绝江河。,假舆马者,非利足也,而致千里;,-旬子,2,第21章,第一节、二重积分概念,第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性,重积分,第21章,本章内容:,第二节、直角坐标系下二重积分的计算,第四节、二重积分的变量替换,第五节、三重积分,第六节、重积分的应用,第七节、第八节、第九节-N重积分;反常二重积分;变量替换公式证明-略去,3,第5节 三重积分,一、三重积分的概念,二、化三重积分为累次积分,第21章,本节内容:,三、三重积分换元法,5,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式” 极限,我们也可以用,语言描述该定义.(P243),6,注意:,三重积分与二重积分有相似的性质及存在定理.(略!),例如,中值定理:,在有界闭域 上连续,则存在,使得,V 为 的,体积,由定义可知,引例中物体的质量为:,若在,那么,的体积为V.,7,二、化三重积分为累次积分,定理21.15,二重积分,存在 ,其中D= c, d x e, h ,则积分,假设函数,在长方体,上的三
2、重积分存在,且对任何,也存在, 且,V = a, b x c, d x e, h ,8,1). 投影法 (“先一后二” ),一般区域上三重积分的计算法:(直角坐标系下),9,2). 截面法 (“先二后一”),10,若区域,则:,3). 三次积分法,11,小结: 三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,具体计算时应根据,三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,方法3. “三次积分”,12,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .(补充),解:,面及平面,13,例2. (补充)计算,解:,用“先二后一 ”,14,其中V 为x=1, x=2,例3. 计算三重积分,所围成的闭区域 .(P246 例1),解:,z=0, y=x与,15,三、 三重积分的换元法,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,经常使用的是柱面坐标系和球面坐标系。即:,1、柱面坐标变换,2、球面坐标变换,分别介绍如下。,16,1、柱面坐标系,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,
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