山东省青岛市2020届高三上学期期末数学试题（解析版）

1、高三教学质量检测数学试题第卷(选择题 共60分)一选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数在复平面内对应的点分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】由已知条件可得，然后代入 ，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】复数 在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），1+i，i故选D【点睛】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】 ，得 成立；若 ，得【详解】若 ，得 成立；反之，若 ，得故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.3.向量满足，则向量与的夹角为（）A. 45B. 60C. 90D. 120【答案】C【解析】设向量与的夹角为，化为，故选C考点：平面向量数量积的运算4.已知数列中,.若为等差数列,则( )A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据等差数列的性质先求出的公差

2、，即可求出【详解】设等差数列的公差为，则，即，解得则，解得故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题5.已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出，即得焦点，利用抛物线的定义，即可求出【详解】由点在抛物线上，可得，解得，即抛物线，焦点坐标，准线方程为所以，点到抛物线焦点的距离为：故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基础题6.在中,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【分析】依题可得，点为边的中点，从而可得出， ， ，从而可得出，即可得到【详解】如图所示：，点为边的中点，又，又，即故选：D【点睛】本题主要考查向量加法平行四边形法则，向量减法的三角形法则，向量的线性运算，平面向量基本定理等知识的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题7.已知双曲线C:,(,)的左右焦点分别为, O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,(),则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【分析】利用双曲线的定义求出，由向量的数量积，可求

3、出，利用余弦定理可得的关系式，结合，即可求出【详解】因为，可得，由可得，所以，即有，即，所以，所以双曲线的渐近线方程为：故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义,向量数量积的定义以及余弦定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题8.已知奇函数是R上增函数,则( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据定义，可判断出为偶函数，根据其导数可得出，时，函数单调递增，时，函数单调递减，再利用奇偶性将三个函数值转化到同一个单调区间上的函数值，即可比较出大小【详解】由奇函数是上的增函数，可得，以及当时，当时，由，则，即为偶函数因为，所以当时，当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减因为， 所以故选：B【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性，比较大小，涉及指数函数，对数函数的性质以及利用导数研究函数单调性，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力，属于中档题二多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的0分.9.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是(

4、)A. 直线与平面所成的角等于B. 点C到面的距离为C. 两条异面直线和所成的角为D. 三棱柱外接球半径为【答案】ABD【分析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假【详解】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确故选：【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题10.要得到的图象,只要将图象怎样变化得到( )A. 将的图象沿x轴方向向左平移个单位B. 将的图象沿x轴方向向右平移个单位C. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位D. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位【答案】ABC【分析】根据三角函数的变换法则，即可判断各选项是否可以变换

5、得到【详解】对于A，将图象沿x轴方向向左平移个单位，可得的图象，故选项A正确；对于B，将的图象沿x轴方向向右平移个单位也可得到，的图象，故选项B正确；对于C，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向右平移个单位，得到的图象，故选项C正确；对于D，先作关于x轴对称，得到的图象，再将图象沿x轴方向向左平移个单位，得到的图象，故选项D不正确故选：【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换和伸缩变换法则的应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，以及逻辑推理能力，属于基础题11.已知集合,若对于,使得成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:;.其中是“互垂点集”集合的为( )A. B. C. D. 【答案】BD【分析】根据题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得，结合函数图象即可判断【详解】由题意知，对于集合表示的函数图象上的任意点，在图象上存在另一个点，使得在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点，所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在中的任意点，在中存在另一个，使得，所以是“互垂点集”集合；

6、在的图象上，当点坐标为时，不存在对应的点， 所以不是“互垂点集”集合；对的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以是“互垂点集”集合，故选：【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为( )A. 函数是偶函数B. ,恒成立C. 任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立D. 不存在三个点,使得为等腰直角三角形【答案】ACD【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可【详解】对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；对于B，取，则，故选项B错误；对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立

7、； 直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立； 直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立 综上，不存在三个点，使得为等腰直角三角形，故选项D正确故选：【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题第卷(非选择题 共90分)三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为_【答案】【分析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，根据垂径定理构造方程可求得结果.【详解】为等腰直角三角形 ，又 又圆的圆心到直线距离，解得：故答案为【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的

8、应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为，属于常考题型.14.已知直线与曲线相切，则= 【答案】3【分析】设切点为（x0，y0），求出函数yln（x+）的导数为y，得k切1，并且y0x0+2，y0ln（x0+），进而求出【详解】设切点为（x0，y0），由题意可得：曲线的方程为yln（x+），所以y所以k切1，并且y0x0+2，y0ln（x0+），解得：y00，x02，3故答案为3【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题.15.2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间(单位:年)的衰变规律满足(表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的_;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到_年之间.(参考数据:,)【答案】 (1). (2). 6876【分析】把代入，即可求出；再令，两边同时取以2为底的对数，即可求出的范围【详解】，当时，经过5730年后，碳14的质量变为原来的，由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：，推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间故答案为：；6876【点睛】本题主要考查了对数的运算， 以及利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题16.已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,若,与所成的角分别为,则线段长度的取值范围为_.【答案】【分析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值【详解】如图所示：分别过作底面的垂线，垂足分别为，由已知可得， 而，当，所在平面与垂直，且在

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