湖南省长沙市2020届高三第5次月考数学（文）试题（解析版）

1、雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（文科）一、选择题1.设集合，则下列结论正确的是A. B. C. D. 【答案】B【分析】求出后可得正确的选项.【详解】因为，故即，所以或，则，故选：B.【点睛】本题考查集合的包含关系和分式不等式的解，属于基础题.2.若复数的实部与虚部相等，则实数等于（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】D【分析】对复数化简计算得，根据实部与虚部相等，解方程得解.详解】由题：，实部与虚部相等，所以，解得：故选：D【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则和对概念准确辨析.3.已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是( )A. 若,且,则B. 若,则C. 若，,则D. 若,，则【答案】A【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】l，lm，m，m，A正确；mn，n，有可能m，B错误；m，n，m，n，m、n不一定相交，、不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选A【点睛】本题

2、考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件4.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A. 92，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.5.已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的( )A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即.充分性：若直线与圆相切，则，充分性不成立；必要性：若，则直线与圆相切，必要性成立.故是的必要不充分条件.故选B.6.已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）A. B. C. 1D. 1【答案】C【分析】根据等差数列的前13项之和,求得,则,运算求得结果.【详解】由题意可得,则,故选C.本题考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出,是解题的关键.7.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】由题意首先确定实数a,b的取值范围，然后结合函数的性

3、质即可确定满足题意的函数图像.【详解】由函数的图象可得，故函数y=loga(xb)是定义域内的减函数,且过定点(1+b,0).结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，对数函数的图像识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.以椭圆两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】D【分析】四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.【详解】设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,设， ，.故选D.【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型9.已知函数为奇函数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】通过求出，得到，即可以求出【详解】是奇函数，故选A【点睛】因为函数是奇函数，所以通过特殊值法，快速求出的值，是一道简单题10.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小

4、于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”，而有个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）A. B. C. D. 【答案】C【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆内，进一步得到，则答案可求【详解】总人数为，写出的组数可以看作是个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆内，则，即，故选C【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目11.为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得，由双曲线的几何性质分析，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案.详解：根据题意，双曲线，其中，设的内切圆半径为r，由图形的对称性知，即.故选：A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意

5、直角三角形的内切圆公式.12.已知实数a，b满足，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，得，代换，代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足，因此求的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，设直线与曲线相切于点，则，解得，所以切点为,所以点到直线的距离，则的最小值为，综上所述，选C.考点：1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发现变成求的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，因此在曲线上找到一个和平行的直线与之间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转换是解决问题的关键.二、填空题13.已知平面向量满足，则 .【答案】【解析】因为，所以考点：向量数量积，向量的模14.已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是_.【答案】【分析】根据俯视图和三条侧棱两两垂直的关系，求出三条侧棱长即可求得体积.【详解】根据俯视图可得该正三

6、棱锥底面正三角形边长为2，三条侧棱两两垂直，所以侧面均为等腰直角三角形，直角边长即侧棱长为，转换顶点，以正三角形任意顶点作为锥体顶点，则锥体体积故答案为：【点睛】此题考查根据三视图识别几何体特征并求体积，关键在于准确识图，根据几何体的特点求解体积.15.在中，角，的对边分别为，若，且，则的面积为_.【答案】2【分析】根据余弦定理进行边角互化，求出，根据余弦定理求出，依据同角三角函数关系求出，即可求出三角形面积.【详解】由余弦定理得，即，解得，故.故答案为：2【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，并求三角形的面积，关键在于熟练掌握定理公式，准确化简计算.16.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题.【详解】由题设知，则，因此，原不等式等价于，根据指数函数性质在上均为是增函数，且，在上是增函数，即，又，当时，取得最小值，因此，解得，又，故.故答案为：【点睛】此题考查函数单调性的综合应用，涉及对函数解析式的处理，将函数值的大小关系转化为自变量取值关系，解决不等式求参数取值范围的问题，综合性比较强.三、解答题17.

7、某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如下表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩（分）8085719287学生乙的成绩（分）9076759282（1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？（2）若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰.若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？【答案】（1）选乙；（2）方案2【分析】（1）计算出两人成绩的平均数和方差进行比较；（2）根据两种方案利用古典概型，计算出进入复赛的概率.【详解】（1）学生甲的平均成绩为，学生乙平均成绩为，学生甲的成绩方差为，学生乙的成绩方差为，因为，所以学生乙的成绩比较稳定，所以选学生乙参加物理竞赛比较合适.（2）记这5道备选题分别为，其中学生乙会，这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有，共5种情况，学生乙恰好抽

8、中会的备选题，有，共3种情况，所以学生乙进入复赛的概率.方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率.因为，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大.【点睛】此题考查求平均数和方差，并进行比较，关键在于准确计算，第二问其本质是计算古典概型，准确求出基本事件总数，和进入复赛包含的基本事件个数才能准确求解.18.如图，在直棱柱中，D是BC的中点，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当异面直线AC，所成的角为时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由直棱柱的性质得出平面，从而得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，由直线与平面垂直的判定定理可证明平面，于是可得出；（2）由棱柱的性质得出，可得出即为异面直线、所成的角，由此计算出、的值，可得出的面积，再证明出平面，由此计算出三棱锥的体积.【详解】（1）证明： 直棱柱中，平面，平面，中，为的中点，又、平面，平面，又平面，；（2）解：在直棱柱中，即为异面直线、所成的角，平面，平面，又，平面平面，在中，即.又，.【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，结合异面直线所成角的定义来考查，解题时要根据角的值来求出相应的边长，在计算三棱锥的体积时，要选择合适的高与底面，结合题中的垂直关系进行寻找，考查逻辑推理能力，属于中等题.19.已知首项为的等比数列的前项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据，求出公比，即可得解；（2）对项数分奇偶讨论的取值范围，即可得到区间长度的最小值.【详解】（1）由题意可知：，即，即公比又，.（2）由（1）可知.当为偶数时，易知随增大而增大，根据勾型函数性质，此时.当为奇数时，易知随增大而减小，根据

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