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高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单性质（2）导学案北师大版选修1-1

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常见问题

1、2.1.2椭圆的简单性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1，2)与椭圆y21的位置关系.答案当x1时，得y2，故y，而2，故点在椭圆外.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0直线与椭圆相交有两个公共点.(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点.(3)0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4，2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减

2、即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程.解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率k1，|AB|.|AB|2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数

3、m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.解可求得O到AB的距离d，又|AB|，SAOB|AB|d ，当且仅当m2m2时，等号成立，此时m，.所求直线的方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练4椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，F1PF2面积的最大

4、值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为ykx(k0)，若O为坐标原点，求OAB的面积的最大值.解(1)已知椭圆的离心率为，不妨设ct，a2t，即bt，其中t0，又F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，因此2tt，解得t1，则椭圆的方程为1.(2)联立整理得(4k23)x28kx0.解得x10或x2 .k0，|AB|x1x2|，原点O到直线l的距离为d .SOAB，当且仅当4k，即k时，OAB面积的最大值为.1.经过椭圆1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为()A.6 B.8 C.10 D.16答案B2.经过椭圆1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由题意知，其相交弦为通径，长为4.3.直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A.m1 B.m1且m3C.m3 D.m0且m3答案B解析由(3m)x24mxm0，0，m1或m0且m3，m1且m3.4.过点P(1，1)的直线交椭圆1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为_.答案x2y30解析设A(x

5、1，y1)，B(x2，y2)，则又两式相减得.AB所在的直线方程为x2y30.5.直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|，求直线l的方程.解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)()2，化简得k4k220，所以k21，所以k1.所以所求直线l的方程是xy10或xy10.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.40分钟课时作业一、选择题1.椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1答案D解析因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1.2.直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()A.m1B.m1或0m1C.0m5且m1

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