高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.3 绝对值不等式的解法课件 新人教b版选修4-5

1、1.3 绝对值不等式的解法,1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c,|ax+b|c,|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c. 2.明确绝对值不等式解题的关键及方法步骤,会解简单的绝对值不等式.,1.含绝对值的不等式|x|a的解集,【做一做1-1】 不等式|x|3的解集为 . 答案:x|x-3或x3 【做一做1-2】 对任意实数x,不等式|x|a恒成立,则实数a的取值范围是 . 解析:|x|0,要使|x|a恒成立,则a0. 答案:(-,0),2.|ax+b|c,|ax+b|c(c0)型不等式的解法 (1)|ax+b|c(c0)型不等式的解法是:先化为不等式组 -cax+bc,再利用不等式的性质求出原不等式的解集. (2)|ax+b|c(c0)的解法是:先化为ax+bc或ax+b-c,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集. 名师点拨解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使其变为不含绝对值符号的一般不等式,然后,其解法就与解一般的不等式或不等式组相同. 【做一做2-1】 已知集合A=x|x2-5x+60,集合B=x|2x-1|3,则集合A

2、B等于( ) A.x|2x3 B.x|2x2或x-1,AB=x|2x3. 答案:C,【做一做2-2】 若不等式|3x-b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为 .,答案:(5,7),3.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 (1)解法一:分区间讨论法.一般步骤是:令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间;在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集;这些解集的并集就是原不等式的解集. (2)解法二:几何法.几何解法的关键是对绝对值几何意义的理解.例如:|x-a|+|x-b|0)的解集为与A(a),B(b)距离之和小于c的点的全体. (3)解法三:图象法.图象法的关键是构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,利用函数的图象得到不等式的解集. 知识拓展关于|x-a|0)x2a2的解法去掉绝对值符号来解:|x-a|x-b|(x-a)2(x-b)2.,【做一做3】 不等式|x+3|+|x-3|8的解集为 .,答案:(-,-4)(4,+),1.如何用分区间讨

3、论法解含绝对值的不等式? 剖析:分区间讨论法解含绝对值的不等式时,是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点),将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值符号的不等式去解,求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论,以免漏解.,在分区间讨论的过程中,每一个区间的讨论都有一个“x”的范围(或值)作为本区间讨论的前提,这与解含参数的不等式有些类似,但本质上又不同,每一区间的讨论结果,都是“x”的前提范围与本区间含绝对值不等式去掉绝对值符号的不等式解集的交集,而最后的不等式的解集应是每一区间结果的并集.解含参数的不等式讨论时,每一步的前提条件是参数所取的范围(或值),每一步间的结果各自独立,不存在“交、并”集的说法,因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式,虽然都用的分区间讨论法,但实质上是不同的.这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程,以免出错.,2.几个特殊的含绝对值的不等式的区别是什么? 剖析:(1)若|x-4|

4、-|x-3|a有解,则a的取值范围是 ; (2)若|x-4|-|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是 ; (3)若|x-4|+|x-3|a的解集为R,则a的取值范围是 . 处理以上这种问题,我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的最值(值域)等联系起来,第一个函数的值域为-1,1,而第二个函数只有最小值1,即|x-4|+|x-3|1,所以(1)|x-4|-|x-3|a要有解,只需aa的解集要是R,则说明是恒成立问题,所以aa的解集为R,说明a|x-4|+|x-3|min=1,即a1.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,用数形结合来解得a的取值范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.,题型一,题型二,题型三,题型四,简单的绝对值不等式的解法 【例1】 解下列不等式: (1)|4x+5|25; (2)|3-2x|9; (3)1|x-2|3. 分析:根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解. 解:(1)|4x+5|25, 4x+525或4x+5-25. 4x20或4x-30.,题型一,题型二,题

5、型三,题型四,(2)|3-2x|9,|2x-3|9, -92x-39,即-62x12. -3x6. 原不等式的解集为x|-3x6.,故原不等式的解集为x|-1x1或3x5. 解法二:1|x-2|31x-23或-3x-2-13x5或-1x1, 故原不等式的解集为x|3x5或-1x1.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思绝对值不等式的常见类型及其解法: (1)形如|f(x)|a(aR)型不等式 此类问题的简单解法是等价命题法,即 当a0时,|f(x)|af(x)a或f(x)af(x)0. 当aaf(x)有意义. (2)形如|f(x)|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法,即 |f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2 f(x)+g(x)f(x)-g(x)0.,题型一,题型二,题型三,题型四,(3)形如|f(x)|g(x)型不等式 此类问题的简单解法是等价命题法,即 |f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)a0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 af(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)|f(x)f(x)0.,题型一,题型二

6、,题型四,题型三,含多个绝对值的不等式的解法 【例2】 解下列不等式: (1)|x+1|+|x-1|3; (2)|x+2|+|x-1|6. 分析:(1)本题可以用分区间讨论法或数形结合法求解,对于形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数.(2)可用分区间讨论法,也可以利用绝对值的几何意义去绝对值符号求解或应用图象法求解.,题型一,题型二,题型四,题型三,解:(1)解法一:(几何法)如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间-1,1上的数都不是不等式的解.设在点A左侧有一点A1,到A,B两点的距离之和为3,A1对应数轴上的x,则-1-x+1-x=3,得x= 同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离之和为3,B1对应数轴上的x,则x-1+x-(-1)=3,得x 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边或点B1的右边的任意点到A,B的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集是,题型一,题型二,题型四,题型三,解法二:(分区间讨论法或分段法)当x-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)3,解得x

7、当-1x1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)3,即23,不成立,无解. 当x1时,原不等式可以化为x+1+x-13, 解得x 综上可知,原不等式的解集为,题型一,题型二,题型四,题型三,解法三:(图象法)将原不等式转化为 |x+1|+|x-1|-30. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即,题型一,题型二,题型四,题型三,(2)解法一:|x+2|=0和|x-1|=0的根-2,1把实数轴分为三个区间(-,-2,(-2,1),1,+).在这三个区间上|x+2|+|x-1|有不同的解析表达式,它们构成了三个不等式组.,题型一,题型二,题型四,题型三,解法二:x为不等式|x+2|+|x-1|6的解x是与数轴上的点A(-2)及B(1)两点距离之和小于6的点. A,B两点间的距离为3,因此线段AB上任何一点到A,B的距离之和都等于3,因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不等式解的全体,关键在于找到与A,B的距离之和为6的点.,题型一,题型二,题型四,题型三,反思(1)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分

8、区间讨论的方法具有普遍性,但较烦琐;几何法和图象法较直观,但只适用于数据较简单的情况. (2)分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,(3)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设ab,于是,题型一,题型二,题型四,题型三,这种图象解法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想. (4)几何解法的关键是理解绝对值的几何意义.,题型一,题型二,题型三,题型四,含参数的绝对值不等式的解法 【例3】 已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由f(x)3,得|x-a|3, 解得a-3xa+3. 因为不等式f(x)3的解集为x|-1x5,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x

9、)=f(x)+f(x+5),所以当x5; 当-3x2时,g(x)=5; 当x2时,g(x)5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-,5.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:应用取零点分区间讨论法求解含多个绝对值符号的不等式时,因漏掉分界点而致错. 【例4】 解不等式|2x-1|+|2x-4|6.,错因分析:本题求解错误的原因是将绝对值不等式转化为不等式组时未考虑分界点 ,2.,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4 5,1不等式|x-1|+|x-2|3的最小整数解是( ) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析:解|x-1|+|x-2|3,得0x3,故选A. 答案:A,1 2 3 4 5,A.x|01 B.x|0x1 C.x|-1x0 D.x|x0,等式不成立,排除选项B;当x=-1时,不等式成立,排除选项C;故选D. 答案:D,1 2 3 4 5,3若不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集,则实数a的取值范围是( ) A.(1,+) B.1,+) C.(7,+) D.(1,7),在同一个坐标系内作出y=f(x)与y=a的图象,如图所示. 要使原不等式的解集非空,则在函数y=a的图象下方,一定存在函数f(x)的图象的部分,所以只需a1,即实数a 的取值范围是(1,+).故选A. 答案:A,1 2 3 4 5,4不等式|x+1|-|2x-3|+20的解集为 .,答案:(0,6),1 2 3 4 5,5若关于x的不等式|x+2|+|x-1|a的解集为,则a的取值范围为 . 解析:数

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