山东高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教a版必修4
16页1、 问题提出 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 向量?2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算,如33333=53=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢?这需要从理论上进行探究. abaabba+ba- b探究一:向量的数乘运算及其几何意义思考1:已知非零向量a,如何求作向 量aaa和(a)(a) ( a)?aaOaaABCaaaOMNPaaa (a)(a)(a)思考2:向量aaa和(a) (a)(a)分别如何简化其表示 形式?aaa记为3a, (a)(a)(a)记为3a.思考3:向量3a和3a与向量a的大小和 方向有什么关系?a aOaaABCaaaOMNP思考4:设a为非零向量,那么 a和 a 还是向量吗?它们分别与向量a有什么 关系?aaa思考5: 一般地,我们规定:实数与向 量a的积是一个向量,这种运算叫做向量 的数乘.记作a,该向量的长度与方向 与向量a有什么关系?(1)|a|=|a|;(2)0时,a与a方向相同;0时,a与a方向相反;=0时,a =0.思考6:如图,设点M为ABC的重心,D 为BC的中点,那么向量 与 ,与 分别有什么关系? ABC D
2、M探究二:向量的数乘运算性质 思考1:你认为2(5a),2a2b, a可分别转化为什么运算?-2 (5a)= -10a ; 2a 2b = 2(a+b); (3 )a =3a a.思考2:一般地,设,为实数,则 (a),() a,(ab)分别 等于什么?(a)=() a ; () a =a a; (a b)=ab.思考3:对于向量a(a0)和b,若 存在实数,使b=a,则向量a与b 的方向有什么关系?思考4:若向量a(a0)与b共线,则 一定存在实数,使b=a成立吗?思考5:综上可得向量共线定理:向量a (a0)与b共线,当且仅当有唯一一 个实数,使b=a. 若a0,上述定 理成立吗?思考6:若存在实数,使 , 则A、B、C三点的位置关系如何?思考7:如图,若P为AB的中点,则 与 、 的关系如何?ABPO思考8:向量的加、减、数乘运算统称为 向量的线性运算,对于任意向量a、b, 以及任意实数、x、y,(xayb)可 转化为什么运算?(xayb)=xayb. 理论迁移例1 计算 (1)(3)4a; (2)3(ab)2(ab)a; (3)(2a3bc)(3a2bc).2b3babO例2 如图,已知任意两个非零向量a , b,试作 =ab, =a2b, =a3b.你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗?为什么?abABC例3 如图,平行四边形ABCD的两条对 角线相交于点M,且 =a, =b, 试用a,b表示向量 、 、 、 MA B D Cab小结作业 1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量 ,但实数与向量不能相加、相减.实数 除以向量没有意义,向量除以非零实数 就是数乘向量. 2.若a=0,则可能有=0,也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律,不是规定,而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线,直线平行,线段 数量关系的理论依据.
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