虹口补习班恒高教育一对二不等式(学案)
12页1、李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 12不等式(学案)一、基础知识点1. 实数的大小比较 (1)实数有以下性质:任意两个实数之间,一定还有其它实数。(2)对于两个实数 a,b,有且只有以下三种关系之一:ab,ab,ab. (3)实数的大小比较:通过以下作差法来解决: 0abab;0abab;0abab. (4)注意实数运算的符号法则. 2. 不等式的基本性质(1)对称性:.abba(2)传递性:,.ab bcac(3)加法性质:.abacbc 不等式两边同时加上或减去同一个数,不等号不变.(4)乘法性质:,0,0ab cacbcab cacbc .不等式两边同时乘以或除以一个正数,不等号不变; 不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号反向.(5)同向不等式相加:,.ab cdacbd(6)同向不等式相乘:0,0.abcdacbd(7)1100.abab(8)乘方性质:*0,nnabnNab.(9)开方性质:*0,nnabnNab.3. 一元二次不等式的解法0 0 0 二次函数二次函数2yaxbxc(0)a 的图象一元二次方程一元二次方程20axbxc(0)a 的根有两个相异实根121
2、2,()xx xx有两个相等实根122bxxa 无实根李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 24. 不等式恒成立问题(1) axf在Dx内恒成立 axfmin; axf在Dx内有解 axfmax;(2) axf在Dx内恒成立 axfmax; axf在Dx内有解 axfmin.5. 两个一元二次不等式恒成立问题的解决方法:(1)不等式20axbxc(0a )对任意实数 x 恒成立0,0.a (2)不等式20axbxc(0a )对任意实数 x 恒成立0,0.a 6. 一元二次方程实根分布设 02acbxaxxf,方程02cbxax的两根为2121,xxxx,acb42.(1)方程有两个正根 0002121 xxxx;(2)方程有两个负根 0002121 xxxx;(3)方程有一正根一负根 0021xx;(4)方程有两个大于 k 的根 020kfkab;20axbxc(0)a 的解集12 |x xxxx或2bx xa R20axbxc(0)a 的解集12 |x xxx李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 3(5)方程有两个小于 k 的根 020kfkab;(6)方程有一根大于 k 一根小于
3、k 0kf;(7)方程在区间nm,内有且只有一根 0nfmf;(8)方程两根都在区间nm,内 0020nfmfnabm.7. 分式不等式等价转化为整式不等式求解:. 00, 00abababab8. 绝对值不等式绝对值的定义: 0,0,|aaaaa绝对值|a的几何意义:数轴上实数 a 所对应的点到原点的距离.绝对值不等式:设0a,22|axaxaax;.|22axaxaxax或解绝对值不等式的关键在于“去绝对值”,去绝对值的方法有:分段讨论;两边平方.绝对值不等式:bababa.9. 无理不等式: 等价转化为有理不等式. 转化应注意:根式有意义的条件;不等式两边的符号;两边平方的 条件.(1)baba 0;(2) ba 200baba;(3) ba 20000bababa或李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 410. 高次不等式: 将不等式的一边化为零,另一边多项式分解因式,再用数轴标根法求解.设nxxx21,将高次不等式化为:)0(0)()(21或nxxxxxx.9. 基本不等式(1)02a对任意实数a恒成立,当且仅当0a时取等号.(2)abba222对任意实数a和b恒成立,当且仅
4、当ba 时取等号.(3)abba 2对任意正数a和b恒成立,当且仅当ba 时取等号.其中2ba与ab分别叫正数a和b的算术平均数、几何平均数,故此不等式也称为均值不等式.均值不等式的几何解释:NMCOBAba如图,线段bMBaAM ,,以线段 AB 为直径画圆,分别过圆心 O、点 M 作 AB 的垂线交圆于点 C、N,则abMNbaOC,2,由图可见.2abbaMNOC即(4)3 3abccba对任意正数cba,恒成立,当且仅当cba时取等号.其中3 3abccba和分别叫三个正数cba,的算术平均数、几何平均数.一般,n 个正数的算术平均数不小于它的几何平均数. 10. 基本不等式的应用 (1)定和积最大:设0, 0ba,若baP为定值,则当且仅当ba 时,abS 有最大值.(2)定积和最小:设0, 0ba,若abS 为定值,则当且仅当ba 时,baP有最小值.运用基本不等式 2 求最值应满足三个条件:一正二定三相等. 11. 不等式的证明 不等式的证明方法主要有:比较法;综合法;分析法.李 S 老师高三数学暑假班新王牌教育 5比较法有:作差比较,0baba;作商比较:在已知0, 0
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