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1987年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

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1、第 1 页共 18 页19871987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学( (一一) )试卷试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_时,函数2xyx取得极小值.(2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y 所围成的平面图形的面积是_.(3)与两直线1yt 2zt及121 111xyz都平行且过原点的平面方程为_.(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22 )(4 ) Lxyy dxxx dy =_.(5) 已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2, 0, 0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数a与, b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.第 2 页共 18 页三、(本题满分 7 分)(1)设f、g为连续可微函数,( ,),(),ufx xyvg xxy求,.uv xx (2)设矩阵A和B满足关系式2,AB = AB其中301110 ,014 A求矩阵.B四、(本题满

2、分 8 分)求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a 五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2( )( )lim1,()xaf xf a xa 则在xa处( () )(A)( )fx的导数存在,且( )0fa(B)( )fx取得极大值(C)( )fx取得极小值(D)( )fx的导数不存在(2)设( )fx为已知连续函数 0,(),s tItf tx dx其中0,0,ts则I的值( () )(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t第 3 页共 18 页(3)设常数0,k 则级数2 1( 1)nnkn n( () )(A)发散(B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于( () )(A)a(B)1 a(C)1na(D)na六、（本题满分 10 分）求幂级数111 2n n nxn 的收敛域，并求其和函数.七、（本题

3、满分 10 分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy其中是由曲线113( )0zyyf xx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2第 4 页共 18 页八、（本题满分 10 分）设函数( )fx在闭区间0,1上可微,对于0,1上的每一个, x函数( )fx的值都在开区间(0,1)内,且( )fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个, x使得( ).f xx九、（本题满分 8 分）问,a b为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.第 5 页共 18 页十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为_;而事件A至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第1 个箱子有3个白球,2 个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2

4、个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211( )e,xxf x则X的数学期望为_,X的方差为_.十一、（本题满分 6 分）设随机变量,X Y相互独立,其概率密度函数分别为( )Xfx 1 001x其它,( )Yfy e 0y0 0y y ,求2ZXY的概率密度函数.第 6 页共 18 页19871987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学( (一一) )试卷试卷参考答案参考答案一（一（1 1）一（2）第 7 页共 18 页一（一（3 3）一（一（4 4）一（一（5 5）第 8 页共 18 页二二. .第 9 页共 18 页三（三（1 1）. .三（三（2 2）第 10 页共 18 页四四五（五（1 1）第 11 页共 18 页五（五（2 2）第 12 页共 18 页五（3）五（4）六第 13 页共 18 页七第 14 页共 18 页八第 15 页共 18 页九第 16 页共 18 页十(1)第 17 页共 18 页十（2）十（3）第 18 页共 18 页十一.

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