1994年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

1、第 1 页 共 20 页19941994 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 011limcot ()sinxxxx_.(2) 曲面23zzexy在点(1,2,0)处的切平面方程为_.(3) 设sinxxuey,则2ux y 在点1(2,)处的值为_.(4) 设区域D为222xyR,则2222()Dxydxdyab_.(5) 已知1 1(1,2,3),(1, )2 3,设TA ,其中T是的转置,则nA _.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设42 2 2sincos1xMxdxx,3422(sincos)Nxx dx,23422(sincos)Pxxx dx,则()(A)NPM(B)MPN (C)NMP(D)PMN(2) 二元函数( , )f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,

2、)xfxy、00(,)yfxy存在是( , )f x y在该点连续的() (A) 充分条件但非必要条件(B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件(3) 设常数0,且级数21n na收敛,则级数 21|( 1)nnnan ()(A) 发散(B) 条件收敛(C) 绝对收敛(D) 收敛性与有关(4)20tan(1 cos )lim2 ln(1 2 )(1)xxaxbxcxde ,其中220ac,则必有()(A)4bd(B)4bd (C)4ac(D)4ac (5) 已知向量组1234、线性无关,则向量组()第 2 页 共 20 页(A)12、23、34、41线性无关(B)12、23、34、41线性无关(C)12、23、34、41线性无关(D)12、23、34、41线性无关三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, , 每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设2221cos( ),1cos( )cos,2txtyttuduu 求dy dx、22d y dx在2t的值.(2) 将函数111( )lnarctan412xf

3、 xxxx展开成x的幂级数.(3) 求sin22sindx xx.第 3 页 共 20 页四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )计算曲面积分2222 Sxdydzz dxdy xyz ,其中S是由曲面222xyR及两平面,zR(0)zR R 所围成立体表面的外侧.五、五、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设( )f x具有二阶连续导数,(0)0,(0)1ff ,且2()( ) ( )0xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求( )f x及此全微分方程的通解.第 4 页 共 20 页六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设( )f x在点0x 的某一领域内具有二阶连续导数,且 0( )lim0 xf x x,证明级数11( )nfn绝对收敛.七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.第 5 页 共 20 页八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设四元线性齐次方程组( ) 为

4、12240,0,xxxx 又已知某线性齐次方程组( )的通解为12(0,1,10)( 1,2,2,1)kk.(1) 求线性方程组( ) 的基础解系；(2) 问线性方程组( ) 和( )是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设A为n阶非零方阵,*A是A的伴随矩阵,TA是A的转置矩阵,当*TAA时,证明| 0A .第 6 页 共 20 页十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, , 每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1) 已知A、B两个事件满足条件()()P ABP AB,且( )P Ap,则( )P B _.(2) 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为X01P1 21 2则随机变量max,ZX Y的分布律为_.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知随机变量(, )X Y服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布2(1,3 )N和2(0,4 )N,X与Y的相关系数1 2XY ,设32XYZ ,(1) 求Z的数学期望( )

5、E Z和方差( )D Z；(2) 求X与Z的相关系数XZ；(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？第 7 页 共 20 页19941994 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学 （一一）试题试题参考答案及参考答案及解析解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】1 6【解析】原式变形后为“0 0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式20cos (sin )limsinxx xx xx300sinlimcoslim xxxxxx2001 cossin1limlim366xxxx xx.(由重要极限 0sinlim1 xx x)(2)【答案】240xy【解析】 所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取nl,又平面过已知点(1,2,0)M.已知平面的法向量( , ,)A B C和过已知点000(,)xyz可唯一确定这个平面：000()()()0A xxB yyC zz.因点(1,2,

6、0)在曲面( , , )0F x y z 上.曲面方程( , , )23zF x y zzexy.曲面在该点的法向量(1,2,0) (1,2,0),2 ,2 ,14,2,02 2,1,0zFFFnyxexyz ,故切平面方程为2(1)(2)0xy, 即240xy.(3)【答案】22e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求u y ,再求u xy .2cosxuxxeyyy ,第 8 页 共 20 页22 2 1 112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexx yy xxyx 2 2 22(1)cos)0x xexxe .(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点( , )x y具有对x及对y的偏导数,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有12zzuzvuvffxuxv xxx ；12zzuzvuvffyuyv yyy .(4)【答案】

7、4 2211()4Rab【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式22222223 22220000cossincossinRRdrrdrdr drabab.注意：222200cossindd ,则原式44 222211111 44RRabab.(5)【答案】111123 23213 3312n 【解析】由矩阵乘法有结合律,注意11 11,232 33T 是一个数,第 9 页 共 20 页而1112311 1221,212 3333312TA ,(是一个三阶矩阵)于是,()()()()nTTTTTTTTA 1111123 233213 3312nTn .二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故0M ,且由定积分的性质,如果在区间, a b上,被积函数( )0f x ,则( )0 ()baf x dxab.所以42

8、 02cos0Nxdx ,42 02cos0PxdxN .因而PMN,应选(D).(2)【答案】(D)【解析】( , )f x y在点00(,)xy连续不能保证( , )f x y在点00(,)xy存在偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy.反之,( , )f x y在点00(,)xy存在这两个偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy也不能保证( , )f x y在点00(,)xy连续,因此应选(D).二元函数( , )f x y在点00(,)xy处两个偏导数存在和在点00(,)xy处连续并没有相关性.(3)【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因22 222( 1) |11111 2222n n nnaaannn,第 10 页 共 20 页(第一个不等式是由2210,0,()2ababab得到的.)又21n na收敛,2 11 2nn收敛,(此为p级数：11p nn当1p 时收敛；当1p 时发散.)所以2 2 111 22n nan收敛,由比较判别法,得 21( 1) |n nnan 收敛.故原级数绝对收敛,因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】因为22211 cos( ),1( )2xxxo xexo x,故tan(1 cos ) (0)axbxaxa,2ln(1 2 )(1)2 (0)xcxdecxc,因此,原式左边 0lim222xaxa cxc原式右边,4ac .当0,0ac时,极限为 0；当0,0ac时,极限为,均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,( ),( )xx

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