2003年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试题及参考答案
25页1、第 1 页 共 25 页20032003 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学(一一)试题)试题一、填空题填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)(1))1ln(102)(coslimxxx=.(2) 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.(3) 设)(cos02xnxaxnn,则2a=.(4)从2R的基 11,0121到基 21,1121的过渡矩阵为.( 5 ) 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 概 率 密 度 为,yxxyxf其他, 10, 0,6),(则1YXP.(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布) 1 ,(N,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则的置信度为 0.95 的置信区间是.(注注:标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (二二、选择题选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号
2、内)(1)设函数 f(x)在),(内连续,其导函数的图形如图所示,则 f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. yOx(2)设,nnncba均为非负数列,且0lim nna,1lim nnb, nnclim,则必有第 2 页 共 25 页(A)nnba 对任意 n 成立.(B)nncb 对任意 n 成立.(C)极限nnnca lim不存在.(D) 极限nnncb lim不存在.(3)已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx,则(A)点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点.(4)设向量组 I:r,21可由向量组 II:s,21线性表示,则(A) 当sr 时,向量组 II 必线性相关.(B) 当sr 时,向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时,
3、向量组 I 必线性相关.(D) 当sr 时,向量组 I 必线性相关. (5)设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为nm矩阵,现有 4 个命题: 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解,则秩(A)秩(B); 若秩(A)秩(B),则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解; 若 Ax=0 与 Bx=0 同解,则秩(A)=秩(B); 若秩(A)=秩(B), 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A).(B). (C).(D).(6)设随机变量21),1)(XYnntX,则(A)(2nY.(B) 1(2nY.(C) 1 ,(nFY.(D), 1 (nFY.三、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线,该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V.第 3 页 共 25 页四四、 (本题满分(本题满分 12 分)分)将函数xxxf2121arctan)(展开成 x 的幂级数,并求级数012) 1(nnn的和.五五 、 (
4、本题满分(本题满分 10 分)分)已知平面区域0 ,0),(yxyxD,L 为 D 的正向边界. 试证:(1)dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin;(2).22sinsindxyedyxexLy第 4 页 共 25 页六六 、 (本题满分(本题满分 10 分)分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而 作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k,k0) .汽锤第一次击 打将桩打进地下 a m. 根据设计方案, 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之 比为常数 r(00 时,).(2)(tGtF九九 、 (本题满分(本题满分 10 分)分)设矩阵 322232223A, 100101010P,PAPB*1,求 B+2E 的特征值与特征向量,其中*A为 A 的伴随矩阵,E 为 3 阶单位矩阵.第 6 页 共 25 页十十 、 (本题满分(本题满分 8 分)分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax,:2l032acybx,:3l032baycx.试
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