2024年江苏南京市高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

1、南京市2024届高三年级第二次模拟考试数 学注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量，若，则（）ABC3D62“”是“过点有两条直线与圆相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位4我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用把佩尔数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列记的前n项和为，则（）A16B12C10D85已知，则（）ABCD6在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）ABCD7已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点若，则的离心率为（

2、）ABCD8在斜中，若，则的最小值为（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分9已知，互为共轭复数，则（）ABCD10已知函数满足，则（）ABC是偶函数D是奇函数11已知平行六面体的棱长均为2，点在内，则（）A平面BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知集合，则集合的元素个数为 13在平面四边形中，则四边形的面积为 14已知函数的两个极值点为，记，点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴若四边形为菱形，则 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x24568销售额y3040606070(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

3、：，16已知函数，其中(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值17在五面体中，平面，平面(1)求证：；(2)若，点D到平面的距离为，求二面角的大小18已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧). (1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围19已知数列的前n项和为若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，称数列为的“余项数列”.(1)若的前四项依次为0，1，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：试卷第3页，共4页1C【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.【详解】由，知，解得.故选：C.2B【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.【详解】由题意，点在圆外，则有，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B3A【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.【详

4、解】，则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.4C【分析】根据题意求得数列的前8项，通过观察找到规律，即可求解.【详解】因为，所以，可以看出数列的前20项为，故.故选：C.5D【分析】首先由求出，再由条件概率公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，则.故选：D6C【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.【详解】令外接球的半径为，依题意，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C7B【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，所以，则，故选：B.8B【分析】由得出，由为斜三角形，得出，再根据诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式求解即可【详解】因为，所以为锐角，则，即，所以，即，所以，当时，即,所以，不合题意；当时，所以，所以当且仅当，即时等号成立，故选：B9BCD【分析】由复数的四则运算和复数模

5、长公式验证各选项即可.【详解】令，对A，则不一定成立，故A选项错误；对B，故B选项正确；对C，故C选项正确；对D，故D选项正确.故选：BCD10AC【分析】利用赋值法求得，可判断各选项的正误。【详解】令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC11ABD【分析】由面面平行的判定及性质即可判断A；以为基底，证明出平面，即可判断B；由即可判断出D；由正弦定理，勾股定理及函数单调性即可判断出C【详解】对于A，连接，由平行六面体得，平面平面，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，同理可得，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；对于B，以为基底，则，因为平行六面体的棱长均为2，所以，所以，因为平面，且，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于D，即，所以，当点共线时等号成立，故D正确；对于C，因为平面，则交的外心，连接，则，在中，由正弦定理得外接圆直径，则，设，在中，在中，则，所以，故C错误；故选：ABD【点睛】方法点睛：在平行六面体中，已知棱长均

6、为2，处理该几何体中的位置关系及数量关系时，以为基底，利用向量解决问题122【分析】利用列举法求解集合，即可求解.【详解】当时，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，时，均不满足，当时，可满足，时，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故答案为：213【分析】设，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出、，最后根据计算可得.【详解】连接，依题意，设，则，又，即，即，即，显然，则，即，又，所以，整理得，即，解得，所以，所以.故答案为：14【分析】令得，四边形为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求的值.【详解】函数，若，恒成立，在上单调递增，不合题意，时，得，则，四边形为菱形，则，故，则，由，化简得，令，则，即，解得，故，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求的值.15(1)X的分布列见解析，期望(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】（1）从A

7、，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，则随机变量的可能取值为1，2，3，的分布列为：123数学期望（2），关于的线性回归方程为；在中，取，得预测广告费支出10万元时的销售额为87万元16(1)(2)【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可【详解】（1）当时，则，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即（2），令，解得或，当时，时，则在上单调递减，所以，则，符合题意；当时，时，则在上单调递减，时，则在上单调递增，所以，则，不合题意；当时，时，则在上单调递减，所以，不合题意；综上，17(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案（2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以（2）由于平面，所以平面，平面，故,又因

8、为平面，平面，所以，又，平面，所以平面由于，则,故,故为等腰直角三角形，所以,如图以为坐标原点，所在的直线分别为，轴建系，设，则，故由于，所以，故，设平面的法向量为,，平面的法向量为,，因为，所以，即令，则，因为，所以，即令，则，设成的角为，由图可知为钝角，所以，故，18(1)(2)【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围【详解】（1）抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，设双曲线E的焦距为，则有，又，则.由，得，所以E的渐近线的方程为（2）设，1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，由，解得，.设， 由，消去得，则有，由，有，即，由，有，所以.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19(1)不是“X数列”(2)证明见解

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