概率论教学—概率1-1（2）

1、概率的性质概率的性质(1)假设假设A1,A2,An是是n个两两互不相容的事件，那么有：个两两互不相容的事件，那么有：P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(An)(2)设设A、B互为对立事件，那么有：互为对立事件，那么有：P(A)=1P(B)(3)假设假设AB,那么那么P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)(4)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)古典概型古典概型同理可得同理可得 为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.称称 1.条件概率条件概率 1.1.3 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 精选课件 某班共有某班共有3636名学生，女同学名学生，女同学1010人，人，8 8名山东籍学生中有名山东籍学生中有3 3名女生，现随机点一人，点到的是山东籍的，求她是女同名女生，现随机点一人，点到的是山东籍的，求她是女同学的概率？学的概率？例例1解：设解：设A=“点到的是山东籍同学点到的是山东籍同学,B=“点到的是女同学点到的是女同学,所求的概率记为所求的概率记为 P(B|A),称这个概率称这个概率为在事件为

2、在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生发生的条件概率的条件概率.P(B|A)=P(A)=P(AB)=精选课件 2)2)从参加条件后改变了的情况去算从参加条件后改变了的情况去算 条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数精选课件乘法公式乘法公式P(A)0推广：推广：当当n=3时，有时，有P(B)0乘法公式乘法公式 则有则有精选课件例例2 袋中有袋中有5个球，个球，3个红球，个红球，2个白球，每次取个白球，每次取1个，取后个，取后放回，再放入与取出的球色相同的球两个，求连续三次取得放回，再放入与取出的球色相同的球两个，求连续三次取得白球的概率白球的概率.精选课件2.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1全概率公式将复杂事件的概率计算问题将复杂事件的概率计算问题转化为转化为在不同原因下在不同原因下发生的发生的简单事件的概率计算。简单事件的概率计

3、算。根本思想：根本思想：样本空间的划分样本空间的划分设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S S，B1,B2,BnB1,B2,Bn是是E E的一组事件，的一组事件，如果满足：如果满足：1)BiBj=1)BiBj=,i,i j,i,j=1,2,.,nj,i,j=1,2,.,n 2)B1B2 Bn=S 2)B1B2 Bn=S 那么称那么称B1,B2,BnB1,B2,Bn为样本空间为样本空间S S的一个划分的一个划分.-完备事件组完备事件组精选课件样本空间样本空间S的一个划分的一个划分精选课件设事件设事件B1,B2,Bn为样本空间为样本空间S的一个划分，的一个划分，A为某一事件为某一事件B1,B2,Bn在划分在划分S的同时也划分了事件的同时也划分了事件A.A精选课件 全概率公式全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)注：注：在应用中常将事件在应用中常将事件B与与作为样本空间的一个划分作为样本空间的一个划分由因导果由因导果精选课件在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(A)不易不易,但但A总是总是伴随着某个伴随着某个B

4、i出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全部概率全部概率P(A)被分解成了许多局部之和被分解成了许多局部之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:精选课件 某某一一事事件件A的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因，如如果果A是是由由原原因因Bi(i=1,2,n)所所引引起起，那那么么A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式全概率公式理解理解精选课件定理定理 那么那么 称为称为全概率公式全概率公式.全概率公式全概率公式 说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题的概率计算问题,分解为假设干个简单事件的概率计算问分解为假设干个简单事件的概率计算问题题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加

5、性求出最终结果.化整为零各个击破化整为零各个击破 精选课件例例3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率求它是次品的概率.精选课件解解 而且有而且有 易知易知,(1)由全概率公式由全概率公式 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率求它是次品的概率.精选课件该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性最大性最大?实际中还有下面一类问题，即实际中还有下面一类问题，即“结果求原因结果求原因 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的

6、是条件概率，是某结果发生条件下，求各的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:精选课件 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白?精选课件某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.记记 Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球求求P(B1|A)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(A)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?精

7、选课件定理定理 那那么么 此式称为此式称为贝叶斯公式贝叶斯公式.贝叶斯公式是条件概率公式、乘法公式、贝叶斯公式是条件概率公式、乘法公式、全概率公式的综合运用全概率公式的综合运用.2贝叶斯公式贝叶斯公式精选课件例例3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件,假设取到的是次品假设取到的是次品,为分析为分析此次品出自何厂此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少别是多少.试求这些概率试求这些概率.精选课件解解 而且有而且有 易知易知,(1)由全概率公式由全概率公式 (2)

8、由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以上结果说明以上结果说明,这只次品来自第这只次品来自第2家工厂的可能性最大家工厂的可能性最大.精选课件3.事件的相互独立性与伯努利概型事件的相互独立性与伯努利概型两个事件的独立性两个事件的独立性定义定义 在试验中，假设事件在试验中，假设事件A的发生与事件的发生与事件B的发生与的发生与否是互不影响的，那么称事件否是互不影响的，那么称事件A与事件与事件B是相互独立的是相互独立的.例例4：袋中球，黑白，有放回随机取球两次，每次一只，：袋中球，黑白，有放回随机取球两次，每次一只，设：设：A=“第一次取球取到白球第一次取球取到白球 B=“第二次取球取到白球第二次取球取到白球.P(B|A)与与P(B)的关系的关系解解精选课件否！否！偶然偶然乎乎？定义：定义：设设A A、B B为两事件，如果关系式为两事件，如果关系式 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)成立，那么称事件成立，那么称事件A A与事件与事件B B是相互独立的，是相互独立的，简称独立简称独立.精选课件注：注：两个事件两个事件A、B相互独立与互不相容是两个不同的相互独立与互不相容是两个不同的概念

9、，概念，当当P(A)0、P(B)0时两者不能同时成立时两者不能同时成立.证：假设证：假设A与与B互不相容，即互不相容，即 A B=从而从而 P(A B)=0,但但P(A)P(B)0,故故 P(A B)P(A)P(B)从而从而A与与B不相互独立不相互独立.假设假设A与与B相互独立，那么有相互独立，那么有 P(AB)=P(A)P(B)0所以所以A与与B一定不是互不相容的一定不是互不相容的.精选课件定理定理1：设设A与与B是两个事件，是两个事件，P(A)0,那么那么A与与B相互独立相互独立P(B|A)=P(B)定理定理2:假设事件假设事件A与事件与事件B是相互独立的，那么是相互独立的，那么 A 与与 、与与B、与与 也是相互独立的也是相互独立的.证：证：精选课件2多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义3：设：设A、B、C是三个事件，如果有是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)那么称事件那么称事件A、B、C两两独立两两独立.定义：设定义：设A、B、C是三个事件，如果有是三个事件，如果有 P(AB)=P(A)P(B)P(BC

10、)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么称事件那么称事件A、B、C是相互独立的是相互独立的.注意注意 三个事件相互独立三个事件相互独立 三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 精选课件推广：设有推广：设有推广：设有推广：设有n(1)n(1)n(1)n(1)个事件个事件个事件个事件AiAiAiAi，i=1,n;i=1,n;i=1,n;i=1,n;假设从这假设从这假设从这假设从这n n n n个事件中个事件中个事件中个事件中任意取任意取任意取任意取k k k k个事件个事件个事件个事件 都有都有都有都有 那么称这那么称这那么称这那么称这n n n n个事件个事件个事件个事件A1,A2,AnA1,A2,AnA1,A2,AnA1,A2,An是相互独立的是相互独立的是相互独立的是相互独立的.注：注：.在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据在实际应用中，对于事件的独立性我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断定义来判断，而是根据实际意义来加以判断.3.假设事件假设事件A1,A2,An 是相互独立的，那么将是相互独立的，那么将

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