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概率论与数理统计（第二版）第3-5节重积分的计算

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常见问题

1、二、二重积分的根本性质二、二重积分的根本性质一、二重积分的概念一、二重积分的概念重积分精选课件解法解法:类似定积分解决问题的思想:引例引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的有界闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“分割,近似替代,近似求和,取极限精选课件1)“分割用任意曲线网分D为 n 个小闭区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“近似替代在每个3)“近似求和那么中任取一点小曲顶柱体精选课件4)“取极限令精选课件一、二重积分的定义及可积性一、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点假设存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,精选课件引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划精选课件二重积分的几何意义二重积分的几何意义:=V 表示曲顶柱体的体积表示曲顶柱体的体积;表示曲

2、顶柱体体积的负值表示曲顶柱体体积的负值；表示各局部体积的代数和表示各局部体积的代数和.(3)一般f(x,y),=-V精选课件二重积分存在定理二重积分存在定理:假设函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,那么假设有界函数在有界闭区域 D 上除去有例如例如,在 D:上二重积分存在;在D 上二重积分不存在.精选课件二、二重积分的根本性质二、二重积分的根本性质(k 为常数)为D 的面积,那么为D 的面积,那么精选课件推论推论2.由于那么推论推论1.假设在假设在D上上那么5.假设在D上精选课件(ab)与曲线1.设被积函数f(x,y),有界闭区域D是由直线x=a,x=b 三、利用直角坐标计算二重积分三、利用直角坐标计算二重积分围成的.X-型区域型区域(先先y 后后x 的二次积分的二次积分)精选课件(cd)与曲线2.设被积函数f(x,y),有界闭区域D是由直线y=c,y=d 围成的.Y-型区域型区域(先先x 后后y 的二次积分的二次积分)精选课件说明说明:假设积分区域既是假设积分区域既是 X-型区域又是型区域又是Y-型区域型区

3、域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.那么有3.假设有界闭区域D较复杂,可将它分成假设干X-型域或Y-型域,那么精选课件例例1.计算二重积分其中D是直线x=-2,x=2与y=-1,y=1围成的矩形.解：解：D看作X-型区域精选课件例例2.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作X-型区域型区域,那那么么解法解法2.将将D看作看作Y-型区域型区域,那那么么精选课件例例3.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:D为为Y-型区域型区域,那么那么及直线精选课件例例4.计算其中D 是直线所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.精选课件例例5.计算二重积分其中区域D 是由直线与双曲线围成的闭区域.解解:Y-型区域，那么型区域，那么精选课件内容小结内容小结1.二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:假设积分区域为那么假设积分区域为那么精选课件 2.计算步骤及本卷须知计算步骤及本卷须知画出积分域D 确定积分序写出积分限积分域分块要少二次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)精选课件思考与练习思考与练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换精选课件

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