概率论与数理统计浙大四版 第二章4讲

1、 3.正态分布 (normal distribution)正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.平平时时，我我们们很很少少有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现现，最最后后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线。的密度曲线。正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出对于连续型随机变量，一般是给出它的它的概率密度函数概率密度函数。一、正态分布的定义一、正态分

2、布的定义 假设假设r.v X的概率密度为的概率密度为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？由于连续型随机变量唯一地由它的由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。的密度函数有什么特点。二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称.决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方;故故f(x)

3、f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=x=处到达处到达最大值最大值:令令x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可可得得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。当当x 时，时，f(x)0,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f(x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。再复习一下。正态概率密度函数的几何特征总结正态概率密度函数的几何特征总结下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。人人的的身身高高上上下下不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较

4、较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。点。请请同同学学们们想想一一想想，实实际际生生活活中中具具有有这这种特点的随机变量还有那些呢？种特点的随机变量还有那些呢？除了我们在前面的身高外除了我们在前面的身高外,在正常条件在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布.服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是X的分布函数的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？设设X ,X的分布函数是的分布函数是 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定，当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。态分布。标准正态分布标准正态分布standard normal distri

5、bution 下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布三、标准正态分布三、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则则 N(0,1)设设Theorem1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表四、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x0时时若若N(0,1)假设假设 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以

6、求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.例例4 4 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头时机在顶头碰头时机在0.010.01以下来设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高X XN(170,62),N(170,62),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来

7、求满足上式的最小的 h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头时机不超过时机不超过0.01.0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.(1)所求概率为所求概率为解解例例5 这一讲，我们介绍了正态分布，这一讲，我们介绍了正态分布，它的它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布.练习毕达哥拉斯悖论希帕索斯与第一次数学危机公元前5世纪希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国

8、，最早的一部天文数学著作?周髀算经?中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜假设狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理。毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比那么是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。希帕索斯因此被处以绞刑。一直到18世纪，当数学家证明了根本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位确实立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

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