概率论与数理统计浙大四版 第三章1讲
47页1、第三第三章章 多维随机变量多维随机变量从本讲起,我们开始第三章的学习从本讲起,我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,我们重点讨论二维随机变量困难,我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.到现在为止,我们只讨论了一维到现在为止,我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是由命中点的位置是由一对一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三三个坐标来确定的等等个坐标来确定的等等.一一般般地地,我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体X=(X1,X2,,Xn)为为n维维随随机机变变量量或或随随机机向量向量.以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一
2、维情形的对照.1离散型二维随机变量1定义:定义:3)二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质2 2、联合分布函数联合分布函数1定 义2 2二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义yo(x,y)(X,Y)3分布函数具有以下的根本性质:分布函数具有以下的根本性质:1F(x,y)是变量是变量 x,y 的不减函数,即的不减函数,即对于任意固定的对于任意固定的 y,当当 x1 x2时,时,对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y1 y2时,时,对于任意固定的对于任意固定的 y,且且 对于任意固定的对于任意固定的 x,3 3 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),)=F(x,y+0),即即 F(x,y)F(x,y)关于关于 x x 右连续,关于右连续,关于 y y 也右连续也右连续.1定义:定义:对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)分布函数分布函数 F(x,y),如,如果存在非负函数果存在非负函数 f(x,y),使得对于任意的,使得对于任意的 x,y有:有:那么称那么称(X,Y)是连续型的
3、二维随机变量,函数是连续型的二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为的概率密度,或称为 X 和和 Y 的联合概率密度。的联合概率密度。3 3、二维连续型随机变量、二维连续型随机变量2)概率密度概率密度的的性质:性质:40 设设 G 是平面上的一个区域,点是平面上的一个区域,点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为:的概率为:Important formula 在几何上在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面,上式表示空间的一个曲面,上式即表示即表示 P(X,Y)G的值等于以的值等于以 G 为底,以曲面为底,以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积.二维随机变量(二维随机变量(X,Y)联合分布联合分布离散型离散型i,j=1,2,X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 k=1,2,离散型离散型一维随机变量一维随机变量Xk=1,2,X的概率函数的概率函数 连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的密度函数的密度函数 f(x)二维随机变量(二维随机变量(X,Y)连续型连续型X和和Y 的联合密度函数的联合密度函数二维随机变量(二
4、维随机变量(X,Y)X和和Y的联合分布函数的联合分布函数X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X例例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三为三次抛掷中正面出现的次数,而次抛掷中正面出现的次数,而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的概率函数的概率函数.解:解:X,Y可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下列表如下 二维联合分布全面地反映了二维随机变二维联合分布全面地反映了二维随机变量量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随机变而单个随机变量量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布.那么要问那么要问:二者之间有什么关系呢二者之间有什么关系呢?从表中不难求得从表中不难求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y
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