概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章第5讲

1、第五讲 全概率公式全概率公式 和和贝叶斯公式贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率,它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球即即 B=A1B+A2B+A3B，且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123将将此此例例中中所所

2、用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15 设设S为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是是两两互斥的事件，且有两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,n,全概率公式全概率公式:称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组.那么对任一事件那么对任一事件B，有，有在一些教科书中，常将全概率公式表达为：在一些教科书中，常将全概率公式表达为：在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是总是伴随着某个伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全部概率全部概率P(B)被分解成了许多局部之和被分解成了许多局部之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:某某一一事事件件B的的发发生生有

3、有各各种种可可能能的的原原因因(i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，那那么么B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式.P(B)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由由原原因因推推结结果果，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用大大小小有有关关.全全概概率率公式表达了它们之间的关系公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果 练习 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品,其中其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、箱、3箱、箱、2箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1

4、,0.2,0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱,再从这箱中任再从这箱中任取一件产品取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率.解：解：设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品,分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的,由题设知由题设知故故该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性最大性最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“结果求原因结果求原因 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。年出生于伦敦，做过神甫。174

5、2年成为英年成为英国皇家学会会员。国皇家学会会员。1763年年4月月7日逝世。贝日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论根底理论，并创将归纳推理法用于概率论根底理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了奉献统计推断、统计的估算等做出了奉献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作另一著作?时机的学说概论时机的学说概论?发表于发表于1758年。年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.

6、1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率.记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;B=取得红球取得红球求求P(A1|B)运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它它是在观察到事件是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式：设 A1,A2,An是 两 两 互 斥 的 事 件，且 P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，那么 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果事件可以帮助人们确定某结果事件 B发生发生的最可能原因的最可能原因.例例 2 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反响是阳性的概率

7、为对一种试验反响是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反响是阳性的概率为人对这种试验反响是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反响是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反响是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得:P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反响的概率是患者阳性反响的概率是0.95，假设试验后得阳，假设试验后得阳性反响，那么根据试验得来的

8、信息，此人是患性反响，那么根据试验得来的信息，此人是患者的概率为者的概率为 P(CA)=0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义有癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认.例例3解解(1)由由全概率公式得全概率公式得(2)由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得解解例例4 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为 例例 4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三

9、三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概被两人击中而击落的概率为率为0.6,假设三人都击中假设三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求求飞机被击落的概率飞机被击落的概率.设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中,i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)那么那么 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1可求得可求得:为求为求P(Ai),设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中,i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为

10、0.458.练习：练习：袋中有袋中有10个黑球，个黑球，5个白球现掷一枚个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球假设取出的球全是白球，求掷出球假设取出的球全是白球，求掷出3点的点的概率概率 那么由那么由Bayes公式，公式，得得返回主目录设设B=取出的球全是白球取出的球全是白球 解：下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息不是在没有进一步信息不知道事件知道事件B是否发生的情况下，人们对诸是否发生的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息知道当有了新的信息知道B发生，人们对诸发生，人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦

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