概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章4讲
31页1、第四讲第四讲 条件概率(Conditional probabilityConditional probability)与乘法公式(Multiplication formulaMultiplication formula)在解决许多概率问题时,往往需要在在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1.条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的发生的概率,将此概率记作概率,将此概率记作P(A|B).一般一般 P(A|B)P(A)P(A)=1/6,例例如,掷一颗均匀骰子,如,掷一颗均匀骰子,A=掷出掷出2点点,B=掷出偶数点掷出偶数点,P(A|B)=?掷骰子掷骰子 事件事件B发生,此时试验所有可发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是能结果构成的集合就是B,于是于是P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素,它们的出现是等个元素,它们的出现是等可能的,其中只有可能的,其中只有1个在集个在集A中,中,容易看到容易看到P(A|B)P(A)=3/10,又如,又如,10
2、件产品中有件产品中有7件正品,件正品,3件次品,件次品,7件正品中有件正品中有3件一等品,件一等品,4件二等品件二等品.现从这现从这10件中任取一件,记件中任取一件,记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品,P(A|B)P(A)=3/10,B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中,计算本例中,计算P(A)时,依时,依据的前提条件是据的前提条件是10件产品中一件产品中一等品的比例等品的比例.A=取到一等品取到一等品,计算计算P(A|B)时,这个前提条件未变,只时,这个前提条件未变,只是加上是加上“事件事件B已发生这个新的条件已发生这个新的条件.这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报,使我们得情报,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题以在某个缩小了的范围内来考虑问题.假设事件假设事件B已发生已发生,那那么为使么为使 A也发生也发生,试验结试验结果必须是既在果必须是既在 B 中又在中又在A中中的样本点的样本点,即此点必属于即此点必属于AB.由于我们已经知道由于我们已经知道B已发生已发生,故故B变成了新的样变成了新的样本空间本空间,于是于是 有有(1).设设A、B是两个
3、事件,且是两个事件,且P(B)0,则称则称 (1)2.条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.3.条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证)设设B是一事件,且是一事件,且P(B)0,那么那么1.对任一事件对任一事件A,0P(A|B)1;2.P(S|B)=1;3.设设A1,An互不相容,则互不相容,则P(A1+An)|B=P(A1|B)+P(An|B)而且,前面对概率所证明的一些重要性质而且,前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.请自行写出请自行写出.2)从参加条件后改变了的情况去算从参加条件后改变了的情况去算 4.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例:例:A=掷出掷出2点点,B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B)=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,第一颗掷出第一颗掷出6点点,问问“掷掷出点数之和不小于出点数之和不小于
4、10的概率是多少的概率是多少?解法解法1:解法解法2:解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8,活到,活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问现问现年年20岁的这种动物,它能活到岁的这种动物,它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少?率是多少?解:设解:设A=能活能活20年以上年以上,B=能活能活25年以上年以上依题意,依题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为P(B|A).由条件概率的定义:由条件概率的定义:即即 假设假设P(B)0,那么那么P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而而 P(AB)=P(BA)二、二、乘法公式乘法公式假设假设P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调,有的位置对调,有故故 P(A)0,那么那么P(AB)=P(A)P(B|A)(3)假设假设 P(A)0,那么那么P(BA)=P(A)P(B|A)(
5、2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A|B)的区别!的区别!请看下面的例子请看下面的例子例例3 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件,其中个零件,其中300件是乙厂生产的件是乙厂生产的.而在这而在这300个零件中,有个零件中,有189个个是标准件,现从这是标准件,现从这1000个零件中任取一个,问个零件中任取一个,问这这个零件是乙厂生产的标准件个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少?的概率是多少?所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件所求为所求为P(AB).设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件假设改为假设改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?求的是求的是 P(A|B).B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作
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