高考数学专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略
19页1、专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)众所周知,直线与圆锥曲线的问题,是解析几何解答题的主要题型,是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们,欲更快地提高解决这类问题的实践能力,需要切实解决好以下两个问题:(1)条件或目标的等价转化;(2)对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入,对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索,希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而,转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中,弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此,由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题,要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功,解题便得以驾轻就熟,胜券在握。(1)向弦中点问题转化例1.已知双曲线=1(a0,b0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为(1)求双曲线方
2、程;(2)若直线(km0)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求m的取值范围。略解:(1)所求双曲线方程为(过程略)(2)由消去y得:由题意知,当时, 设中点则C、D均在以A为圆心的同一圆上又于是由得 由代入得,解得m4 于是综合、得所求m的范围为(2)向弦长问题转化例2设F是椭圆的左焦点,M是C1上任一点,P是线段FM上的点,且满足(1)求点P的轨迹C2的方程;(2)过F作直线l与C1交于A、D两点,与C2交点B、C两点,四点依A、B、C、D顺序排列,求使成立的直线l 的方程。分析:为避免由代换引发的复杂运算,寻觅替代的等价条件:设弦AD、BC的中点分别为O1、O2,则,故,据此得于是,所给问题便转化为弦长与弦中点问题。略解:椭圆C1的中心点P分所成的比=2。(1)点P的轨迹C2的方程为(过程略)(2)设直线l的方程为 代入椭圆C1的方程得,故有故弦AD中点O1坐标为 代入椭圆C2的方程得,又有故弦BC中点O2坐标为 由、得 注意到于是将、代入并化简得:由此解得。因此,所求直线l的方程为2化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题,因此,解答解析几
3、何问题,人们都有这样的共同感受:解题方向或途径明朗,但目标难以靠近或达到。解题时,理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现?既能想到,又能做到的关键,往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略,除去“化生为熟”之外,重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。(1)借助投影对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题,当题设条件的直接转化颇为繁杂时,不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法;将线段上有关各点向x轴(或y轴或其它水平直线)作以投影,进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化,这一手法往往能够有效地化解难点,将人们引入熟悉的解题情境。例3如图,自点M(1,-1)引直线l交抛物线于P1、P2两点,在线段P1、P2上取一点Q,使、的倒数依次成等差数列,求点Q的轨迹方程。解:设又设直线l的方程为 代入得由题意得或 且 又由题意得 作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1、Q、P2(如图)又令直线l的倾斜角为则由得 同理,将上述三式代入得将代入得 将代入得于是由、消去参数k得 再注意到式,由得或 因此,由、得所求点Q的轨迹方程为(2)避重就轻事物都是一分为二的,复杂问题中有关事物之间你中
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