定积分法求面积探究毕业论文

1、定积分法求面积的探究教 学 系：专 业：年 级：姓 名：学 号：导师及职称：摘要定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式,巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in definite integralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics

2、 area is one of its application, its thought is to cut and, under different coordinate systems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the definit

3、e integral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geometry. How to flexibly use definite integral is defined and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivalent transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, introduces several commonly used transformation method and solution strategy. In or

4、der to fully reflect the combination of the mathematical thought and method.Keywords:definite integral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言1二、相关概念11.1 定积分的定义11.2 定积分的常用计算方法11.2.1 直接利用公式及性质计算11.2.2 利用定积分的区间可加性计算2三、定积分在面积问题中的应用23.1 直角坐标系下求面积23.1.1 平面面积23.1.2 曲面面积53.2极坐标63.3求旋转曲面的面积7四、常见方法104.1 巧选积分变量104.2 巧用对称性114.3 巧用分割计算11五、结束语12参考文献12致谢13一、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用,与实际联系紧密,有很好的实用性。我们已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、

5、圆的面积等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求“曲边图形”的面积，那我们想到了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的1。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。二、相关概念1.1 定积分的定义一般地，如果有函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记作，即。这里，和分别叫做积分上限和积分下限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式。1.2 定积分的常用计算方法1.2.1直接利用公式及性质计算例2.1求分析被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再利用公式计算。解1.2.2利用定积分的区间可加性计算例2.2 设，求分析 这是一个分段函数，在不同的区间

6、对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。解注意针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择积分方法。第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。例2.3 求分析 被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。解令当时，当时，三、定积分在面积问题中的应用在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。3.1 直角坐标系下求面积平面面积一般地，由上下两条连续曲线与以及两条直线与所围成的平面图形（图31），它的面积计算公式为：0图31(3-1)例3.1 求两条曲线与围城的平面区域（图32）的面积。分析 由图可知选取对积分，便于计算。110图32解两条曲线的交点是与，则此区域的面积：图34例3.2抛物线把圆分成两部分，求(图34)中阴影部分的面积.分析 由得交点坐标：，.由图可知选取为积分变量。解总之，由函数围成的图形(其中)，选取为积分

7、变量，则面积为；由函数,围成的图形(其中，选取为积分变量，则面积为1-10图33以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小，积分小到大”。在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积分值的问题。例3.3求由抛物线与所围图形的面积。分析 设所围图形如（图33）面积为.解方程组，解得两曲线的交点坐标为，.解 图形面积为：当曲线是参数方程时，其中与在上连续。若函数在上严格增加，从而.有,则函数存在反函数, 曲线：、轴和两条直线围成区域的面积 （3-2）若函数在严格减少，从而,有,则函数存在反函数,曲线：、轴和两条直线所围成的区域面积：=（33）如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有,且在内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为： (或) （34）a12aA图35 66666666例3.4求由摆线的一拱与轴所围成的平面图形（图35）的面积。解 摆线的一拱可取所求面积为：例3.5求椭圆：的面积。分析参数方程所表示的曲线是封闭的，既有,且在内曲线自身不在相交。于是便可由公式（34）求解。解椭圆的面积为：显然，当时，这就等于圆面积例3.6求由曲线

8、所围成的平面图形的面积。解令则在此变换下积分区域变换为则区域的面积 曲面面积在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数情形，便得到二重积分，即区域面积的和。因此便可采用二重积分求解面积2。如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为则面积为： （35）如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为则面积为：如果曲面由方程确定，在面上的投影区域为，则面积为：例3.7求锥面被柱面截下的部分的面积。解 联立方程组消去，得，曲面在面上的投影区域为，由，得，由公式（32）得3.2 极坐标设曲线由极坐标方程给出，其图36中在上连续，。由曲线与两条射线所围成的平面图形，通常也称为扇形（图36）。此扇形的面积的计算公式为 (36)0图37这仍可由定积分分的基本思想而得。如（图37）所示，对区间作任意分割射线 把扇形分成个小扇形。由于是连续的，因此当很小时，在每一个上的值变化也很小。任取便有这时，第个小扇形的面积为于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限即为公式(36)中的定积分。图38例3.8求双扭线所围成的平面图形的面积。解如图（38）所示，因为所以的取值范围是与由图形及公式(36)，得到：例3.9求三叶玫瑰线()围成区域（图39）的面积。解三叶玫瑰线围成的三个叶是全等图形，只须计算第一象限那部分面积的6倍。三叶玫瑰线在第一象限中，角的变化范围是到 于是三叶玫瑰线围成区域的面积为：图39令则原式可化为：3.3 求旋转曲面的面积定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用，也常采用“微元法”。若令,则当为连续函数时，或,且，现在恰好把问题倒过来：如果所求量是分布在某区间上的，即，,而且当时，适为最终所求的值。再任意小区间上，若能把的微小增量近似表示为的线性形式： (36)其中为某一连续函数，而且当时，,亦即 (37)那么只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果。图310设平面光滑曲线C的方程为(不妨设)这段曲线绕轴旋转一周得到旋转曲面（图310）下面用微元法导出它的面积公式。通过轴上点与分别作垂直于轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即其中由于， =因此由的连续性可以保证所以得到

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