求点到平面距离地基本方法
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1、求点到平面距离的根本方法农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个根本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种根本方法.例 2005年某某高考题如图1，直二面角中，四边形是边长为的正方形，为上的点，且平面.()求证：平面；()求二面角的大小；()求点到平面的距离. 图1()、()解略，()解如下：一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2, ,如此.为点到平面的距离.图2解：如图3，过点作，连结，如此平面平面，平面平面，平面平面，作垂足为，如此平面.是点到平面的距离.在中，图3二、平行线法如图4,为上任意一点,如此.点到平面的距离转化为平行于平面的直线到平面的距离，再转化为直线上任意一点到平面的距离.图4解：如图5，过点作，连结，如此平面，点到平面的距离转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离.作垂足为，平面平面，平面，是点到平面的距离.在中，图5三、斜线法利用平面的斜线与三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7,，,假如,如此.点到平面的距离转化为求直线上的点到
2、平面的距离.图6 图7解：如图8，与的交点为，即平面，点到平面的距离与点到平面的距离相等.平面平面，平面，是点到平面的距离.在中，图8四、线面角法如图9，为平面的一条斜线，与所成的角为，到平面的距离为，如此由斜线和平面所成的角的定义可知，有.经过与垂直的平面与相交，交线与所成的锐角就是与所成的角，这里并不强求要作出在上的射影，连结得.图9解：如图10，平面，平面平面，为与平面所成的角为,如此点到平面的距离.由()知二面角的正弦值为，得.到平面的距离.图10五、二面角法如图11，、所成二面角的大小为，点到平面的距离，如此有.也就是二面角的大小，而不强求作出经过的二面角的平面角.图11解：如图12，平面平面，平面，设二面角的大小为，如此点到平面的距离.由()知二面角的正弦值为，得.到平面的距离.图12六、体积法解：如图13，过点作交于点,.二面角为直二面角，平面.设到平面的距离为，平面，.点到平面的距离为图13七、向量法解：如图14，以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，平面，平面，在的中点，,设平面的一个法向量为，如此解得令得是平面的一个法向量.AD/轴，点D到平面的距离.图14练习：如图15，是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在平面，且，求点到平面的距离.(答案：)
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