二元一次方程组和它的解

1、二元一次方程组和它的解二元一次方程组的解法学习要求：了解二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解的含义，并会检验二元一次方程组的解。熟练掌握二元一次方程组的两种基本方法，即代入消元法和加减消元法，明确两种方法的核心是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。通过本节的学习，达到能根据方程组的特点，灵活地选用适当的方法解较简单的二元一次方程组的程度。知识内容：1. 二元一次方程，二元一次方程组以及二元一次方程组的解的概念。2. 二元一次方程组的两种解法代入消元法和加减消元法。对于概念部分，我们首先要搞清什么是“元”以及什么是“次”，这里“元”指的是未知数，“一元”就是一个未知数，“一次”指的是未知数的最高次数是一次，另外还要注意对二元一次方程的理解，除了含有两个未知数，并且未知项的最高次数都是1外，等号两边的代数都是整式。用定义检验所给的方程是否为二元一次方程时，应先对所给的方程进行整理变形，再根据定义进行判断。其次对于任何一个二元一次方程来说，它都有无数个解。我们还要搞清二元一次方程组的概念，它是由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，值得注意的是含有两个未知数是

2、对方程组共含有的未知数的个数而言，至于每一个方程中所含有的未知数的个数是多少并未强调，它可能是两个，也可能是一个。最后我们要对二元一次方程组的解有一个准确的理解，那就是说，二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，并且它也必须是一个数对，而不能是一个数。【典型例题】例1.下列各方程，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由。1）3x70(2)x2y243）3xy6(4)-2xy5）2y26y1(6)-2yl37）3mn1(8)5(xy)2(2x3y)4解：由二元一次方程的定义易知这里只有（3）、（6）、（8）是二元一次方程，因为它们含有两个未知数，并且未知项的次数都是1次，等号两边均为整式。而其余的均非二元一次方程。（1）只含一个未知数；（2）中未知项均为二次；（4）左边不是整式；（5）中未知项最高次是二次；（7）中mn是二次。例2.（1）下列四组数中，是方程4xy10的解的是（）x0A.y10x3.5B.y4x15C.y4x1D.y6x2(2)对数是否为方程3x.2y.16的一个解。y5对于方程3x.8y.90,用含x的代数式表示y应是(A.y24x723.9B.y-x88

3、D.x3y.3x1解：(1)关键是看哪-对x、y的值代入方程中使左、右两边相等，经检帑.符合。故选(D)。x2(2)将代入方程左边3225.6.10.16y5右边=16，左边=右边x2是方程3x.2y.16的解。y5(3)结果应是左边是y，右边是含x的代数式，由已知方程3x.8y.90移项,1393x9.8y，再将y的系数化为1，即两边同乘以或除以8，得xy。888.应选(B)。x3例3.(1)已知.是关于x、y的方程ax.2y2的解，求a的值。y5x1x3(2)已知.与.都是关于x、y的方程，xy.b(b0)的解，求c.V2c的值。x3解：(1)这一问实际上是例2第(2)的一个延伸，即将代入方程ax.2y2y5中得：3a.2.52，由此得到一个关于a的一元一次方程，解此方程求出a4，即可得答案。x1(2)先将.代入方程，得12by2b3方程此时变为xy3x3再将代入得，3.c3，由此便可求出c0。yc小结：以上几道例题均为概念题，只要概念清楚，计算准确，就可以正确解出。例4.用代入法解二元一次方程组。y8（1）y3xxy7（2）x2y8分析：方程、既然组成一个方程组，那么这两个方程中

4、同一个未知数就应取相同的值。因此，方程中的y可以代替方程中的y,从而得到一个关于x的一元一次方程：x3x8，这样就完成了二元代一元的一个转化，进而先求出x2，再将x2代入或（2）求出y。解：（1）将代入得：x3x8,4x8x2将x2代入，得：y326#分析：在第一小题中可直接将代入，消去y，实现二元向一元的转化，而在这道题中，不能直接将代入，也不能直接将代入，首先应用含的代数式表示y（或用含y的代数式表示x）,之后再代入即可。解：（2）由（1）得：y3x7把代入得：5x2（3x7）811x22x2再把x2代入得：y327x2y1#另解：由得:把代入，得：3x8：5x7化简得：11x22x2852再将x2代入得：yx2y1小结：要注意的几点：（1）方程由方程变形而来，只能代入方程，否则求不出解。（2）求出一个未知数值后代入变形后得到的方程中，去求另一个未知数的值较简便。（3）求出x、y值后，要进行必要的检验，以保证求解的正确性。以上为用代入消元法解二元一次方程组的例题，简称代入法，代入法解二元一次方程组的一般步骤为：1. 将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数

5、；2. 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，使解二元一次方程组转化为解一元一次方程，并求出一个未知数的值；3. 把求得的这个未知数的值代入变形后的方程或原方程组里的任何一个方程，求得另个未知数的值，从而得到方程组的解。例5.用加减法解方程组。8x5y9（1）3x5y133x2y5（2）5x4y1215x6y21（3）16x9y12分析：（1）中的两个方程y的系数恰好互为相反数，由此启发我们若将它们相加正好消去y解：（1）将得：11x22 x2把x2代入得：825y9 y75分析：（2）中的两个方程中y的系数成2倍关系，即将X2+恰好消去y。解：（2）X2得：6x4y10+得：11x22x2把x2代入得：322y5x2r1分析：首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数的特点，先消去y是较简便的，而此时找到y的系数6和9的最小公倍数是18,然后确定方程两边同乘以3,方程两边同乘以2,两个方程相减即可消去y。解：（3）X3得：45x18y63 X2得：32x18y24 一得：13x39 x3把x3代入得：1536y21 y4x34y4小结：使用加减法解二元一次方程组时，有时

6、需确定方程两边同乘以一个适当的数，正确的选择“适当的数”是解题的关键。由以上例题我们可以归纳出用加减消元法，简称加减法解方程组的一般步骤：1. 方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，应用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；2. 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；3. 解这个一元一次方程，求得一个未知数的数值；4. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。x2y5m（1）例6.已知：关于x、y的方程组的解满足方程3x2y19,求mx2y9m（2）的值。分析：方程组的两个方程相加可消去y,相减可消去x,分别得到用m的代数式表示x、y的结果，再代入方程3x2y19中，即可得到关于m的一元一次方程，从而求出m的值。解：（1）+（2）得：2x14m xIm（3）（1）（2）得：4y4m ym（4）将（3）、（4）同时代入3x2y19中，得：3m2（m）19 m1小结：此题综合运用加减法和代入法，从而达到消元的目的，体现了解题的灵活性。巩固试题.选择题1.下列方程中，

7、是二元一次方程的有（）5711（1）2n12（2）yzm463)2ab34)xy6A.1个B.2个C.3个D.4个#2.下列方程组中，是二元一次方程组的有（#1)y22x43) 2x3 4x18xy9k2y7#D.4个A.1个B.2个C.3个3.下列不是2xy2的解的是（）#x2A.y6x1.5B.x2C.y0 54D.1 右x1x24. 已知与都是方程axby0(b0)的解，则c的值(y2ycA.4B.2x3y7C.2D.45. 若方程组的解是3xmy8的一个解，则m值=(5xy9A.1B.2D.4x46. 方程3x4y16与下面哪个方程所组成的方程组的解是(y11A.-x3y721C.4x7y8axby57. 已知xay2a2A.b1C.3B.3x5y7D.2(xy)3yx4的解是,则a、b的值是()y3a2B.SbIa2C.a2D.18.已知-xbKy3a和BBx2ay2皿是同类项，则a、b值是()a2A.a7B.b0a0Ci!9.在代数式x2axb中,当x2时其值是D.b2其值=3,当x时，其值=4,则当x1时，A.C.)4545B.5D.!10.方程3x2y17的一个解与方程组A.4B.3x2y3m的解相同,则m=xy9mC.2D.1#二.填空题1.已知342,用含X的代数式表示y=用含y的代数式表示x=23n=。2.若3X5mB2nB2y3与X6y3mB2n的和是单项式，则m=3. 如果5x3m2ynnIlO是二元一次方程，则m=,n=3t4. 由方程组中得到X和y的关系为v5t5. 已知13a2b7l5a2bI)20，则a=b=。三.解答题：1.解方程组1)x2y25跟4y15#(xl)4(y4)(yl)3(x.5)3)xy2ay2b3x5y2k2.k2为何值时，方程组x.7yk18中X与y互为相反数，并求出x、y值。参考答案一.选择题1.B2.D3.C4.A5.B6.B7.D8.A9.C10.D.填空题431.2七x，213y42.1，123.3，44.xy85.1，2.解答题x51.(1)0y0x5；(2)7；y7(3)xabyab2.k264，x2，y2#

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