导学案-微积分基本定理学案
6页1、6:微积分基本定理(导学案)学习目标1、 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.教学重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并 能正确运用基本定理计算简单的定积分.教学难点:了解微积分基本定理的含义.一、自主学习:1. 定积分的定义: ,2. 定积分记号:思想与步骤几何意义.12b3用微积分基本定理求定积分 X21 dx二 kx dx二二、新知探究新知1:微积分基本定理:1 3 2 1背景:我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算x3dx ,-dx其计算过程比较复杂,所以不、07 x是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。探究问题1:变速直线运动中位置函数 S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位移为 S(t),速度为v(t) (v(t)亠0 ),则物体在时间间隔T1,T2内经过的位移记为S,则T2一方面:用速度函数 v(t)在时间间隔Ti,T2求积分,可把位移 S=s二.v
2、(t)dtT1另一方面:通过位移函数S (t )在T, ,T2的图像看这段位移S还可以表示为S(T1) - S(T2)探究问题2:位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为S(t)二v(t)上述两个方面中所得的位移S可表达为T2T v(t)dt S(T1)-S(T2)T1上面的过程给了我们启示上式给我们的启示:我们找到了用f(X)的原函数(即满足F (x) = f (x)的数值差F (b) - F (a)来计算f (x)在a,b上的定积分的方法。定理 如果函数F(x)是a,b上的连续函数f(x)的任意一个原函数,则该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法。例1 .计算下列定积分:0x2dx 二:丄dx 二:(2x )dx01 x1 x结合前面所学求下列积分:1)(CA-) = (7 I CZV =%氐=3) (sin = cos x I cos .Vv =jS寸亠f a4) (cos =
3、 sill sin .vt/v = jg1 -3)mW = 一一心=6) j = M & 孑心=7) (小=X 112 I f 品= 计算下列3个定积分:2 二sin xdx, sin xdx。兀Lo例3.sin xdx,o由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积解释所发现的结论。、 H思考:问题1 :求sin xdx =,Jq o sinxdx的几何意义? 当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取 值,且等于面积;1y=sin x6 wk-1a.*问题2 :求sin xdx =it2 ji sin xdx的几何意义?Tt.值,且等于面积;当对应的曲边梯形位于 x轴下方时,定积分的值取2 jy问题3:求,; sin xdx二2応sin xdM几何意义?当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于 且等于面积.x轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为问题4:可以发现,定积分的值可能取 新知2:用定积分几何意义求下列各式定积分:們 si nxdx =若 f (x) = 2x 0 -x ::1 求:f (x)dx 二51 x 1,贝V a 的值为1xA.6B o 4Co 313. 0|2x 4 | dx =21222325AB.C.D.3333gtoB. gtoC.曲线y =x2与直线y = x 2所围成的图形(阴影部分)的面积等于(提高):如图,阴影部分的面积是()A . 2 3B. 9 - 2332一 3c35一 3D.课后练习一:用微积分基本定理求简单函数的定积分i 2二1、 o x dx2、/cos2xdx4、f(x2- 2x)dx;:用微积分基本定理求分段函数的定积分5.(4 2x)(4 x2)dx;3、e2xdxJ02 x2 + 2x 36.dx.ix7.设 2lx (0 兰x ci) f(x)二 c 彳I2X。20 f(x)dx等于(A.3-B.4C.不存在A.9、|x|dx等于(ixdx B.-iidx-iC.o(-x)d x +-iixdx0iD.xdx +( x)d x-i0:利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义计算定积分 dxLi6(2x 4)dx2x 1,x-2,2 丨 宀丄四(提咼):已知f x二2当k为何值时,f x dx40成立1 +x ,x (2,4
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