专题1.3 图形的相似章末重难点题型（举一反三）（华东师大版）（解析版）

1、专题1.3 图形的相似章末重难点题型【华东师大版】 【考点1 比例线段】【方法点拨】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段【例1】（2020秋朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（）Aa2，b3，c4，d5Ba1，b2，c2，d4Ca4，b6，c5 d10Da=2，b=3，c3，d=2【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【解答】解：A、2534，故选项错误；B、1422，故选项正确；C、41056，故选项错误；D、3322，故选项错误故选：B【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等同时注意单位要统一【变式1-1】（2020成都模拟）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a3cm，b2cm，c6cm，则d的长度为（）A4cmB5cmC6cmD9cm【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可

2、【解答】解：因为a，b，c，d是成比例线段，可得：d=263=4cm，故选：A【点评】此题考查了成比例线段的定义此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义【变式1-2】（2020龙岗区校级模拟）若a是2，4，6的第四比例项，则a ；若x是4和16的比例中项，则x 【分析】根据第四比例项的概念，得2：46：a，则a可求；根据比例中项的概念，得x2416，则x可求【解答】解：a是2，4，6的第四比例项，2：46：a，a12；x是4和16的比例中项，x2416，解得x8故答案为：12；8【点评】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式【变式1-3】（2019秋皇姑区期末）已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段【解答】解：四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，a：3（a+1）：4即3（a+1）4a解得a3故答案为3【点评】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握

3、比例线段的定义【考点2 黄金分割】【方法点拨】黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=512AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个【例2】（2020福建模拟）在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点若点P是线段MN的黄金分割点，当MN1时，PM的长是 【分析】分PMPN和PMPN两种情况，根据黄金比值计算【解答】解：当PMPN时，PM=512MN=512，当PMPN时，PMMN512MN=352，故答案为：512或352【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是512是解题的关键【变式2-1】（2020秋静安区期中）如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是512的为（）AACBCBBCACCBCABDABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（512）叫做黄金比作出判断【

4、解答】解：点C是线段AB的黄金分割点，AC2ABBC（ACBC），则ACAB=BCAC=512；或BC2ABAC（ACBC），则ACBC=BCAB=512故只有ABBC的值不可能是512故选：D【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键【变式2-2】（2020春相城区期末）如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AEEB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A512B5+12C352D3+52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=512AB，进行计算即可【解答】解：如图，设AB1，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AEEB，AEGF=512，BEFHABAE=352，S3：S2（GFFH）：（BCBE）（512352）：（1352）=512故选：A【点评】本题考查了黄金分割、矩

5、形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义【变式2-3】（2020泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=512，后人把512这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点如图，在ABC中，已知ABAC3，BC4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为（）A1045B355C5252D2085【分析】作AHBC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BHCH=12BC2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=512BC252，则计算出HE254，然后根据三角形面积公式计算【解答】解：作AHBC于H，如图，ABAC，BHCH=12BC2，在RtABH中，AH=3222=5，D，E是边BC的两个“黄金分割”点，BE=512BC2（51）252，HEBEBH2522254，DE2HE458SADE=12（458）5=1045故选：A【点评】本题考查了黄金

6、分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=512AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个也考查了等腰三角形的性质【考点3 比例的基本性质】【方法点拨】解决此类问题通常利用设k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.【例3】（2020徐汇区一模）已知：a：b：c2：3：5（1）求代数式3ab+c2a+3bc的值；（2）如果3ab+c24，求a，b，c的值【分析】（1）根据比例设a2k，b3k，c5k（k0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a2k，b3k，c5k（k0），然后将其代入3ab+c24，即可求得a、b、c的值【解答】解：（1）a：b：c2：3：5，设a2k，b3k，c5k（k0），则3ab+c2a+3bc=6k3k+5k4k+9k5k=1；（2）设a2k，b3k，c5k（k0），则6k3k+5k24，解得k3则a2k6，b3k9，c5k15【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便【变式3-1】（20

7、19秋永登县期末）已知a、b、c是ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c12，请你探索ABC的形状【分析】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断【解答】解：设a+43=b+32=c+84=k，可得a3k4，b2k3，c4k8，代入a+b+c12得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，则ABC为直角三角形【点评】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键【变式3-2】（2019秋碑林区校级月考）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k值【分析】依据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分两种情况讨论，即可得到k的值【解答】解：2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d0时，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；当a+b+c+d0时，b+c+da，k=2ab+c+d=2aa=2；综上所述，k的值为23或2【点评】本

8、题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质【变式3-3】（2019秋雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+bcc=ab+cb=a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果【解答】解：当a+b+c0时，利用比例的性质化简已知等式得：a+bcc=ab+cb=a+b+ca=a+bc+ab+ca+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，即a+bcc，ab+cb，a+b+ca，整理得：a+b2c，a+c2b，b+c2a，此时原式=8abcabc=8；当a+b+c0时，可得：a+bc，a+cb，b+ca，则原式1综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或1【点评】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键【考点4 平行线分线段成比例】【方法点拨】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例【例4】（2019下城区二模）如图，直线l1l2l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O已知DE3，EF6，AB4（1）求AC的长；（2）若BE：CF1：3，求OB：AB【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可【解答】解：（1）l1l2

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