空间立体几何点线面判断与证明

1、常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标（通掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以过本节课学及证明面面垂直， 面面平行等方法和步骤， 了解关于几何体中一些基本的计算和比值。生需掌握的知识点及达到程度）本节课考点及单元测试15%中所占分值比例学生薄弱点，证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分， 使用性质时没有给出应有的条件需重点讲解导致扣分，计算的失误使得自己失分。内容课前检查上次作业完成情况：优良中差建 议 :考向 1空间中点、线、面位置关系的判断1平面的基本性质的应用教(1)公理 1：证明“点在面内”或“线在面内”学(2)公理 2 及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共过面”(3)公理 3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共程线”“三线共点”讲义部要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平分面的公共点，根据公理3 可知这些点在交线上，因此共线2 空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面

2、与平面平行关系相交关系独有关系(1)已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是()A 若 m， n，则 mnB若 m， n? ，则 mnC若 m， mn，则 nD若 m， mn，则 n(2)下列命题正确的是 ()A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解析】 (1)对于选项 A ， m 与 n 还可以相交或异面；对于选项 C，还可以是 n? ；对于选项 D，还可以是 n或 n? 或 n 与 相交(2)对于命题 A ，这两条直线可以相交或为异面直线，A 错误；对于命题 B，这两个平面可以相交， B 错误；对于命题 D，这两个平面还可能相交， D 错误；而由线面平行的性质定理可证 C 正确故选 C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题 (1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断， 注意空间位置关系的各种可能情况解题 (2)时要注意充分利用正方体 (或

3、长方体 )模型辅助空间想象解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长 )方体模型来解决问题考向 2异面直线所成的角1两条异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若记这个角为，则 0， 2.2 判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(1)(2014 大纲全国， 4)已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为 ()13A. 6 B.61 3 C.3 D. 3(2)如图，已知二面角-MN-的大小为 60，菱形 ABCD 在面 内， A， B 两点在棱 MN 上， BAD60， E 是 AB 的中点， DO面 ，垂足为 O.证明

4、： AB平面 ODE；求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值【解析】(1)如图，取 AD 的中点 F，连接 CF， EF，则 EFBD， CEF 即为异面直线 CE 与 BD 所成的角设正四面体的棱长为 2，则 CECF3，EF12BD1.CE2EF2CF23由余弦定理得 cosCEF2CEEF6 .CE 与 BD 所成角的余弦值为3 故选B.6 .(2)证明：如图， DO ，AB? ， DOAB.连接 BD，由题设知， ABD 是正三角形又 E 是 AB 的中点， DE AB.而 DODED，故 AB平面 ODE.因为 BCAD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即 ADO是异面直线 BC 与 OD 所成的角由 知， AB平面ODE，所以 ABOE.又 DEAB，于是 DEO 是二面角-MN-的平面角，从而 DEO60 .不妨设 AB 2，则 AD 2.易知 DE3.3在 Rt DOE 中， DO DEsin 60 2.3DO23连接 AO，在 Rt AOD 中， cos ADO AD24.故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为34.【点拨】 解

5、题 (1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线 解题 (2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里特别为直角三角形求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2)证：证明作出的角为所求角(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角考向 3线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判不在平面内的一条直线与定此平面内的一条直线平行，l?a? ? l定则该直线与此平面平行 (简la理记为线线平行 ? 线面平行 )一条直线与一个平面平行，性则过这条直线的任一平面质与此平面的交线与该直线定平行 (简记为线面平行 ? 线aa? ? ab b理线平行 )直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可； 线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法(2014 北京， 17，14 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1

6、 中，侧棱垂直于底面， ABBC，AA1 AC 2，BC1，E， F 分别是 A1C1， BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1 BCC1 ；(2)求证： C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E-ABC 的体积【思路导引 】(1)利用已知条件转化为证明AB平面 B1BCC1；(2)取 AB 的中点 G，构造四边形 FGEC1 ，证明其为平行四边形，从而得证； (3)根据题中数据代入公式计算即可【解析】 (1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1底面 ABC.所以 BB1AB.又因为 AB BC，所以 AB平面 B1BCC1 .所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明：如图，取AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 G，F 分别是 AB，BC 的中点，1所以 FG AC，且 FG2AC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，E 为 A1C1 的中点，所以 FG EC1，且 FG EC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形所以 C1FEG.又因为 EG? 平面 ABE，C1F?平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 ABAC2BC23.所以三棱锥 E-ABC 的体积V1 AA 11 31233SABC13 23 .1.证明线面平行问题的思路(一 )(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行2 证明线面平行问题的思路(二 )(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行(2013 江苏， 18，13 分)如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G.将 ABF沿 AF 折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，其中 BC22 .(1)证明： DE平面 BCF；(2)证明： CF平面 ABF；2(3)当 AD3时，求三棱锥 F-DEG 的体积

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