高考数学综合复习(六)解析几何

1、 精品文档（ 高考数学综合复习(六)解析几何高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 一、圆锥曲线的几类基本习题 一. 弦的中点问题 具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 例1 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。 当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。 例2 已知椭圆，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。 略解：有，代入得0，得

2、。 从而直线方程是。 此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。二. 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 3 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）求证离心率例； （2）求的值； （3）求的最值。 分析：（1）设，由正弦定理得。 得 ， 。 （2），采用合分比定理得 ， 。 （3）。 当时，最小值是； 当时，最大值是。三. 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 例4 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有 。 得。 例5 为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内，有，解得。四. 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。 例6 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求的取值范围； （

3、2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。 分析：（1）直线代入抛物线方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦点为。 由，得，或 。 例7 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。 分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得， ， 。 由AF知。将上述三式代入得，或。二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题 基本知识点： （1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则 （3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 （4）有关中点弦问题 已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 （5）有关圆锥曲线的对称问题 这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标

4、轴对称，关于点对称，关于直线y=x+b对称。 （6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。【例题选讲】 例1. 已知抛物线y2=2px(p0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B （2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。 解： （2）设Q(x3，y3)由中点坐标公式得 又三角形MNQ为等腰直角三角形 例2. 线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。（2000年，全国高考） 解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。 h是梯形的高。 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为 由点C、E在双曲线上，得 小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以

5、给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。 例3. （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表达式。 值范围。（1997年上海高考） （1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) （3）解： 例4. （1）求椭圆方程； （2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 （1）解： 把(2)代入(1)式中得： 例5. 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1， （1）求椭圆E的离心率e； （2）求双曲线C的方程。 解：（1）因为点M(2，1)，点N(4，-1) （2）因为ee1=1 设双曲线C上一点P(x，y) 化简得双曲线C的方程： 例6. 已知抛物线y2=x上有一条

6、长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。 解：设中点M的坐标为（x，y），利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有 将（4）（5）代入（3）得： 此即M点的方程 三、解析几何中减少计算量的常用方法 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一. 充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。 解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 例2. 已知点P（5，0）和圆O

7、：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，即，所以所求的轨迹方程为 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 解：因圆心在直线上，故可设圆心 又圆与轴相切， 此时可设圆方程为 （运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。） 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。 弦心距 ，解得 当时，圆方程为 当时，圆方程为 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策

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