二重极限与二次极限与一次极限的比较
3页1、重极限与二次极限与一次极限的比较limf仅Mx-alimlimffx.y)=limg(x)如果二重极限是9b,二次极限分别为F户匕E,和limlimf(xfy)=limh(y)g(x)=limf(xfy)h(y)=limf(xPy)yTbxTaxTa.其中,,a,b是常数。则二limf(xM重极限2b存在,意味着,当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)lirnf(xfy)时,f(x,y)的极限都存在。换句话说,若二重极限V存在,则,2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时,f(x,y)的极限都存在。limlimf(xTy)=limg(x)二次极限白b*T3存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X逼近(X,b)也就是(x,y)-(x,b),然后再沿直线y=b逼近(a,b)时也就是(x,b)-(a,b),f(x,y)的极限存在。limlimf(x.y)=limg(x)换句话说,若二次极限x-b*T白存在,则2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时,f(x,y)的极限存在。liml
2、imf(xfy)=Hmh(y)二次极限yTbxTaK以存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y逼近(a,Y)也就是(x,y)-(a,y),然后再沿直线x=a逼近(a,b)时也就是(a,y)-(a,b),f(x,y)的极限存在。limlimf(Kyy);limh(y)换句话说,若二次极限X存在,则,2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时,f(x,y)的极限存在。这样,limf(K,y)x-alimlimf(x,y)1),若二重极限Tb存在且等于A,则二次极限ayTb和lim lim f(x,y)定都存在且都等于A.比如,lim xy = 0今0而且,Hm lim (xy) 显然MT。limlim(xy)和51。也都存在,且都等于00limlimf(xTylimlimf(x,y)2),若二次极限心?或者YTS以中至少有1个不存在,则,若二limf(xN)重极限定不存在。lim lim (j = 0 比如,xOyOlim lim,但yDxTO 不存在。则limX )cTOM-0定不存在。lim lim3),若二
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