大一上学期(第一学期)高数期末考试题
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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1.f(x)cosx(x+sinx),x=0()(A)广(0)2(B)广(OX1(C)广(0)0)f(x)不可导.a(x)1_(x)333xxt121+x.(A)(x)与0(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)%x)与0(x)是等价无穷小；(C)a是比(x)高阶的无穷小；(D)(x)是比a(x)高阶的无穷小.3.若斤(x)Jox沁皿，其中f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且广(x)0，则()(A) 函数F(x)必在x0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x0处没有极值，但点(，F(0)为曲线yF(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x处没有极值，点(，F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。4f(x)f(x)x+2f1f(t)dt,f(x)()0x22+2(A)2(B)2(C)x1(D)x+2二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim(1+3x)sinxcosx6.xt0兀兀2n1、lim(cos2一+cos2+cos2兀)7.nT8nnnn12x2a
2、rcsinx+1一JdxIII忙1x28.1xf(x)2三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.设函数丁=y(x)由方程+sin(xv)1确定，求yy(x)以及yy(0).1x710.dx.x(1+x7)xe-x11.f(x)=.J2x-x20x11f(x)dx-3lim竺二A，且xT0x,A为常数.求()g(x)=f(xt)dt12.13.设函数f(x)连续，og(x)并讨论g(x)在x=0处的连续性.y(1)二1求微分方程xyqf(x)dx.rif(x)dx=0f(x)cosxdx=017.设函数f(x)在虬兀上连续，且o，o证明：在呱)内至少存在两个不同的点“1，“2，使f(“1)二f(“2)二0(提F(x)二ff(x)dx示：设0)解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1cosx冗冗6-()2c5.e66.2x72.8.3三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导exy(1+y)+cos(xy)(xy+y)二0exyycos(xy)y(x)，e
3、xyxcos(xy)x，0,y，0,y(0)，-110. 解：u，x77x6dx，du1(1-u)112原式，Jdu，()du7u(1u)7uu1，(lnIuI2lnIu+11)+c，ilnIx712lnI1+x71+C77&力J1f(x)dx，J0xe-xdx+11. 解：-3-3=J。xd(-e-x)+-3-xe-x-e-x-x2dx00+0cos29d0(令x-1，sin9)-3-2，2e31412.解：由f(0),0，知g(0),0。1f(u)dug(x)，f(xt)dtx，u0xf(x)-f(u)dug(x)，0x2f(u)dug(0)，lim-o，limxT0x2xT0(x0)(xqff(x)dx17.证毕。F(x)_ff(t)dt,0xW证：构造辅助函数：0。其满足在0上连续，在(，)上可导。F(x)_f(x)，且F(0)_F()_00=f(x)cosxdx=cosxdF(x)=F(x)cosx|,sinx-F(x)dx由题设，有0000，F(x)sinxdx=0有o,由积分中值定理，存在丘(，),使F()sin二0即F()=0综上可知F()=F()=F(兀)=,w(,兀).在区间,，兀上分别应用罗尔定理，知存在1W(,)和2(,)，使F9)=及F(2)=0，即f(1)=f(2)=0.
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