高中数学经典错因正解汇总:第十一章数系的扩充与复数
8页1、第十一章 数系的扩充与复数11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数:形如的数(),复数通常有小写字母表示,即,其中叫做复数的实部、叫做复数的虚部,称做虚数单位.2. 分类:复数()中,当时,就是实数;除了实数以外的数,即当b时,叫做虚数;当,b时,叫做纯虚数.3. 复数集:全体复数所构成的集合.4. 复数相等:如果两个复数与的实部与虚部分别相等,记作:=.5. 复平面、实轴、虚轴:建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内,轴叫做实轴, 轴叫做虚轴.6. 复数的模:设=,则向量的长度叫做复数的模(或绝对值),记作.(1);(2)=;(3);7共扼复数:如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识1两个实数可以比较大小,而不全是实数的两个复数不能比较大小2则,而,则不一定成立,如时;3,而则不一定成立;4若不一定能推出;5若,则=,但若则上式不一定成立.三、经典例题例1两个共扼复数的差是( ).实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数 错解:当得到时就错误的选B,忽略了b可以为零的条件.正解:设互为共扼的两复数分别为及则 或当时,为纯虚数当时,
2、因此应选D. 注:要认真审题,看清题设条件,结论. 学会全面辩证的思考问题,准确记 忆有关概念性质. 例2判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且,则 (3)若,则 错解:(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中,从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数,也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解:(1)错,反例设则 (2)错,反例设,满足,但不能比较大小. (3)错,故,都是虚数,不能比较大小.例3实数分别取什么值时,复数是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解:实部,虚部.(1)当 时,是实数;(2)当 ,且 时,是虚数;(3) 当 或 时是纯虚数 例4 设,当取何值时, (1) ; (2).分析:复数相等的充要条件,提供了将复数问题转化为实数问题的依据,这是解复数问题常用的思想方法,这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程,求出 的值解:(1)由可得:解之得,即:当 时 (2)当 可得: 或
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