节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——章末测试A

1、节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章章末测试A未命名一、单选题1下列计算正确的是ABCD2已知全集，集合，则图中的阴影部分所表示的集合为（）ABCD3把分解因式为（）ABCD4若“”是“” 的条件 A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要5我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（）A2斤B斤C斤D斤6已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（）ABCD二、填空题7已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是_8，若且为假命题，则的取值范围是_.9 设，使不等式成立的的取值范围为_.10如图，正方形的边长为1，点为边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_.三、解答题11先化简，再求值：，其中，.12已知函数.（1）若

2、，试求函数的最小值；（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.13中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：（1）计算：；（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素14已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.试卷第1页，共3页参考答案：1C【解析】【分析】利用完全平方公式及平方差公式检验选项即可.【详解】选项A中，故此选项错误；选项B中，故此选项错误；选项C中，正确；选项D中，故此选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.2D【解析】【分析】阴影部分为集合的补集与集合的交集【详解】由题意，故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，考查集合运算的Venn图表示，属于基础题3B【解析】【分析】利用平方差公式即可得到结果【详解】原式，故选：B.【点睛】此题考查了因式分解平方差公式法，熟练掌握公式是解本题的关键4A【解析】【详解】由x2

3、-3x+20，推出x1且x2，因此前者是后者的充分不必要条件解答：解：由x2-3x+20，得x1且x2，能够推出x1，而由x1，不能推出x1且x2；因此前者是后者的充分不必要条件故选A5C【解析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.由题得.即故选：C【点睛】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.6D【解析】【分析】要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为，要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，可得函数在区间为单调函数，则满足或，解得或，即实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7【解析】先求得函数的对称轴，要使函数在区间不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可【详解】解：由已知函数的对称轴为，又函数在区间上不是单调函数，则必有，解得，故答案为：

4、【点睛】本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题8【解析】化简命题，转化条件得，中至少有一个为假命题，即可得解.【详解】为真时，；为真时，.“且”为假命题，中至少有一个为假命题，或或，整理得或.故答案为：.【点睛】本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.9【解析】【分析】通过因式分解，解不等式【详解】，即，即，故的取值范围是【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合10【解析】因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.连接，在中，由三角形的性质知.因为为定值，所以当，三点共线时，的值最小，即可得答案；【详解】因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.连接，在中，由三角形的性质知.因为为定值，所以当，三点共线时，的值最小，此时.所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查线段距离最小问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11；【

5、解析】【分析】直接利用完全平方公式和平方差公式展开可得解.【详解】原式.当，时，原式.故答案为；【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.12（1）最小值为；（2）.【解析】【分析】（1）由利用基本不等式即可求得函数的最小值； （2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”不妨设，则只要在0，2恒成立结合二次函数的图象列出不等式解得即可【详解】解：（1）依题意得.因为x0，所以 .当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为 .（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以 即解得.所以a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题13（1） （2）交换律：，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；（2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立；（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】（1）因为对于中的任意两个元素，规定：所以（2）交换律：，证明如下：由题知：，（3）若中的元素，对，都有成立，由（2）知只需故，即若，显然有成立；若，则，解得当对，都有成立时，得，易验证当时，对，都有成立，【点睛】本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，属于常考题型.14（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，不等式为，即，该不等式解集为 .（2）由已知得，若时，恒成立，即，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.答案第1页，共2页

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