2017-2018学年度高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案【含解析】新人教A版必修5
11页1、第二课时等比数列的性质等比数列性质的应用例1(1)在等比数列an中,若a7a8a9a10,a8a9,则_. (2)已知数列an是等比数列,a3a720,a1a964,求a11的值解(1)因为,由等比数列的性质知a7a10a8a9,所以.(2)an为等比数列,a1a9a3a764.又a3a720,a3,a7是方程t220t640的两个根t14,t216,a34,a716或a316,a74.当a34,a716时,q44,此时a11a3q844264.当a316,a74时,q4,此时a11a3q81621.答案(1) 类题通法等比数列常用性质(1)若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特例:若mn2p(m,n,pN*),则amana.(2)qnm(m,nN*)(3)在等比数列an中,每隔k项取出一项,取出的项,按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列(4)数列an为等比数列,则数列an(为不等于0的常数)和仍然成等比数列活学活用1在等比数列an中,若a22,a612,则a10_.解析:法一:设an的公比为q,则解得q46,a10a1q9a1q(q4)223672.法二:an
2、是等比数列,aa2a10,于是a1072.答案:722在等比数列an中,若a72,则此数列的前13项之积等于_解析:由于an是等比数列,a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a,a1a2a3a136a7a,而a72,a1a2a3a13(2)13213.答案:213灵活设元求解等比数列例2已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数解法一:设三个数依次为a,aq,aq2,由题意知即解得,得9q482q290,即得q29或q2,q3或q.若q3,则a11;若q3,则a11;若q,则a19;若q,则a19.故这三个数为1,3,9,或1,3,9,或9,3,1,或9,3,1.法二:设这三个数分别为,a,aq.得9q482q290,即得q2或q29,q或q3.故这三个数为1,3,9,或1,3,9,或9,3,1,或9,3,1.类题通法三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq.(2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,aq,aq3.活学活用在2和20之间
3、插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为()A4或17B4或17C4 D17解析:选B设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为.由a,20成等差数列得2a20.a2a200,解得a4或a5.当a4时,插入的两个数的和为a4.当a5时,插入的两个数的和为a17.等比数列的实际应用例3某工厂2016年1月的生产总值为a万元,计划从2016年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元?解设从2015年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an1ananm%,1m%.数列an是首项a1a,公比q1m%的等比数列ana(1m%)n1.2016年8月底该厂的生产总值为a20a(1m%)201a(1m%)19(万元)类题通法数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用的方法有:构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求和公式解;通过归纳得到结论,再用数列知识求解活学活用(安徽高考)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC2.过点 A作BC 的垂线,垂足为A
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