初中数学九大几何模型

1、初中数学九大几何模型一、 手拉手模型-旋转型全等（1） 等边三角形【条件】：OA和OD均为等边三角形;【结论】：OACOBD；AB60;OE平分AE（2） 等腰直角三角形【条件】:B和OCD均为等腰直角三角形;【结论】:OOB；AEB90；OE平分AED（3） 顶角相等的两任意等腰三角形【条件】:OAB和均为等腰三角形；且CD=【结论】:OBD;AB=OB;O平分AED二、 模型二：手拉手模型-旋转型相似（1） 一般状况【条件】:CDAB,将OCD旋转至右图的位置【结论】:右图中OCDOABOCOBD；延长AC交D于点E，必有BEC=BO（2） 特殊状况 【条件】:CAB,AB=0将OD旋转至右图的位置【结论】:右图中OCDOAOBD；延长A交B于点E,必有EC=BA；tanOD；BDAC；连接AD、BC，必有；三、 模型三、对角互补模型（1） 全等型-【条件】:AOBDE=9；OC平分AB【结论】:C=CE;O+EC;证明提示:作垂直，如图,证明CN过点C作COC，如图3，证明ODCFEC当DCE的一边交O的延长线于时（如图4): 以上三个结论：C=CE;OE-=O；（2） 全等型-

2、12【条件】:AOB=2DCE120；OC平分AO【结论】：CD=CE；O+OE=C；证明提示：可参照“全等型-9”证法一;如右下图:在OB上取一点,使OFOC,证明OC为等边三角形。 （3） 全等型任意角【条件】：AOB=2,DCE10-2；=CE；【结论】:O平分OB;OD+OE=2os; 当DC的一边交AO的延长线于D时(如右下图）:原结论变成： ； ; 。可参照上述第种措施进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结：常用初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意OC平分AOB时，DE=CEDCA=COB如何引导?四、 模型四：角含半角模型90（1） 角含半角模型90-1【条件】:正方形ACD;EA=45;【结论】:E=F+BE;CE的周长为正方形ABC周长的一半;也可以这样:【条件】：正方形B;EF=F+BE；【结论】:EF=4；（2） 角含半角模型90-2【条件】:正方形ABC;EA=45;【结论】：E=DFB；（3） 角含半角模型903【条件】:RtABC;AE=45；【结论】：(如图1

3、）若DAE旋转到ABC外部时，结论仍然成立(如图2）（4） 角含半角模型90变形【条件】:正方形ABC;EF45;【结论】：H为等腰直角三角形；证明:连接AC(措施不唯一)D=EF=4,DHAE,又ACB=ADB=45;DAHCAE，AHEADC，AH为等腰直角三角形模型五:倍长中线类模型（1） 倍长中线类模型-1【条件】：矩形AC;BD=B； DFF;【结论】：CF模型提取：有平行线ADBE;平行线间线段有中点DFE；可以构造“”字全等ADFHF。（2） 倍长中线类模型-【条件】：平行四边形BC;B=2A;AM=DM；EAB；【结论】:M=3E辅助线:有平行BCD，有中点AM=D，延长EM,构造AMDMF,连接M构造 等腰M,等腰MCF。(通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化)模型六:相似三角形60旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】:A、AC均为等腰直角三角形;EF=F;【结论】：D=BF；DFB 辅助线:延长F到点，使FG=DF,连接G、G、BD,证明BDG为等腰直角三角形； 突破点：ABG; 难点：证明BA=CG（2)相似三角形（等

4、腰直角）360旋转模型-补全法【条件】:ADE、AC均为等腰直角三角形;F=C;【结论】：DF=BF;DFF辅助线：构造等腰直角AEG、HC;辅助线思路：将DF与B转化到G与EF。（3） 任意相似直角三角形36旋转模型-补全法【条件】:OABDC;OB=DC90；E;【结论】:AE=DE；AED2AB辅助线：延长A到G,使AG=B,延长CD到点使=CD，补全OGB、OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH,难点在转化。（4） 任意相似直角三角形3旋转模型-倍长法【条件】：BD;OA=ODC=9;BE=C；【结论】:ADE；=2BO辅助线：延长DE至M,使ME=D,将结论的两个条件转化为证明AMO，此为难点，将MABC继续转化为证明ABMD,使用两边成比例且夹角相等,此处难点在证明ABM=AOD模型七：最短路程模型（1） 最短路程模型一（将军饮马类）总结:右四图为常用的轴对称类最短路程问题,最后都转化到：“两点之间，线段最短:解决;特点：动点在直线上;起点,终点固定（2） 最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：O平分AOB;M为OB上一定点;P为OC上一动点；Q为OB上一动点;【

5、问题】：求P+P最小时,P、的位置?辅助线：将作有关O对称点Q，转化PQ=，过点M作MHOA,则M+QMP+PQM(垂线段最短）（3） 最短路程模型二（点到直线类）【条件】：(0,4)，B(2,0),（，n）【问题】:n为什么值时，最小?求解措施:x轴上取C（2,）,使snOAC=;过B作AC，交y轴于点E，即为所求；tEBO=tOAC=,即E(0，1)（4） 最短路程模型三（旋转类最值模型)【条件】:线段OA=，OB=2；OB绕点O在平面内0旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】:以点O为圆心，B为半径作圆,如图所示,将问题转化为“三角形两边之和不小于第三边,两边之差不不小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OAO 【条件】:线段OA=4,OB=2;以点O为圆心,OB，OC为半径作圆; 点P是两圆所构成圆环内部（含边界）一点；【结论】:若PA的最大值为10,则OC= 6；若PA的最小值为1，则= ; 若A的最小值为2,则PC的取值范畴是 0P 【条件】:RtC，OBC=30;OC=;=1;点P为BC上动点（可与端点重叠）；OB绕点O旋转【结论】：P最大值为OA+

6、B=；P的最小值为如下图,圆的最小半径为到B垂线段长。模型八:二倍角模型【条件】:在ABC中，B=2C;辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A,连接A、BA、CA、 则BA=AA=CA(注意这个结论)此种辅助线作法是二倍角三角形常用的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1） 相似三角形模型-基本型平行类:DEC； A字型 字型 A字型结论:(注意相应边要相应）（2） 相似三角形模型-斜交型【条件】:如右图，D=ACB=90;【结论】：AEB=CAD【条件】:如右图,ACE=A;【结论】：AC2=EAB第四个图还存在射影定理:AEEBCA;BC2BBA;CE2E；（3） 相似三角形模型-一线三等角型【条件】:（）图：ABC=ACCDE=90; (2)图：A=ACE=CE=60; （3)图：ABC=C=DE=45；【结论】:ABCE；ABDE=BCD;一线三等角模型也常常用来建立方程或函数关系。（4） 相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图:A为圆的切线;【结论】:（)图:PAPB=PCD； （2）图：PA2=PCPB; （3）图：PAPB=CPD;以上结论均可以通过相似三角形进行证明。

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