解析几何中定值和定点问题

1、解析几何中的定值定点问题(一)、定点问题【例1 .已知椭圆C :2 2孚 Z =1(a b 0)的离心率为a b仝，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆2与直线x -y 2=0相切.求椭圆C的方程；设P(4, 0) , M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.解：由题意知e =3，所以e2 =与=a ;b =3，即玄2 =4b2，又因为b !1,所以a 2a a 4Jl+1222X2a =4, b =1，故椭圆C的方程为C : - y =1 .4由题意知直线 PN的斜率存在，设直线 PN的方程为y=k(x_4)+y 二k(x 一4)联立 X22 消去 y 得：(4k2 -1)x2 -32k2x 4(16k2 -1) =0 ,4 y T由,;=(32k2)2 _4(4k21)(64k2 4)0 得 12k2 -1 ：:0,又k =0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是3 : k ：:：0或0 :：: k 3 .6 6设点 N(n,yjE(X2,y2)，则 M(为，-yj，直线

2、ME的方程为 y-y?二 一(x-x?),X2 X1令 y=0，得 x=X2X), 将 射=k(X1- 4),y2= k(X2- 4)代入整理，得 x =_4(XX2).y2 +y1X1 +血 一82 2由得X1 X2二卫!J, X1X2二竺 4代入整理，得X=1 ,4k -+14k +1所以直线ME与x轴相交于定点(1, 0).【针对性练习1在直角坐标系xOy中，点M到点F1 i、3,0 , F2 .3,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点 A，不过点A的直线l : kx b与轨迹C交于不同的两点 P和Q .求轨迹C的方程；当AP AQ =0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点.解：点M到.73,0 , . 3 ,0的距离之和是4 , M的轨迹C是长轴为4 ,焦点在x轴上焦中为2 32的椭圆，其方程为-y2 =1 .AOJ7将y=kxb，代入曲线C的方程，整理得(14k2)x282kx0，因为直线|与曲线C交于不同的两点 P 和 Q，所以 厶=64kb -4(1 4k )(4b 4) =16(4k -b 1)0设 PXi, yi，Q |x2,y2，则Xi:X?2 ，

3、Xi X?2f1+4k1+4k且yiy(kXib)(kX? b(k2XiX?)kb(Xix?)b2，显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A-2, 0，所AP = x 2 , y ， AQ = X? 2 , y?.由 AP AQ = 0，得(x2)(x? 2) y y? = 0 .将、代入上式，整理得12k? -16kb 5b? =0.所以(2k -b) (6k -5b) = 0 ,即b = 2k或b .经检验,5都符合条件，当b=2k时，直线I的方程为y =kx2k 显然，此时直线I经过定点-2 , 0点即直线|经过点A，与题意不符.当b =6k时，直线I的方程为y = kx 6k =k55b = k，且直线I经过定点5【针对性练习2】在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆?-匚=1的左、右顶点为A、B，右焦点95为F。设过点T (t,m )的直线TA、TB与椭圆分别交于点 M (xyj、N(x?, y?)，其中 m0, y10, y? ： 0。(1) 设动点P满足PF? -PB? =4，求点P的轨迹；(2) 设治=2,x? = 1，求点T的坐标；3(3) 设t = 9,求证：直线MN

4、必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关)。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：(1)设点 P (x, y),贝 U: F (2, 0 )、B ( 3, 0 )、A (-3, 0)。由 PF? -PB? =4，得(x-2)? y? -(x-3)? y? =4,化简得 。显然，此时直线1经过定点-6,0点，且不过点A .综上，k与b的关系是:9故所求点P的轨迹为直线x = -。2(2)将 Xi = 2, x2直线MTA方程为:15分别代入椭圆方程，以及yi0, y2 0得：m（2,）、33y -0 x 3)9直线NTB方程为:5o3y -020门 0 9，即2 31 ,yHx 1，联立方程组，解得:x =710，所以点T的坐标为吋）。x3r3(3)点T的坐标为(9,m)直线MTA方程为:直线NTB方程为:y -0 m -0 y - 0 m 0_39 3x39 一3y m (x 3)，12叫 3)y (x-3)。6解得：3(802), 40mNF*20),- 20m2) o80+m2 80 +m220+ m220 +m

5、2同时考虑到为=_3,x2 =3，2分别与椭圆_92匕=1联立方程组,5（方法当x - x2时，直线MN方程为:亠 20m3(m2- 20)y2x尸20 + m220+m240m20m_ 3(80-m2)3(m2 - 20)80 m2 20 m280 m220 m2令y = 0，解得：x = 1。此时必过点D（ i，0）;当X1 = X2时，直线MN方程为：X = 1，与x轴交点为D （ 1， 0） o所以直线 MN必过x轴上的一定点 D （1 , 0）o（方法二）若为=X2，则由2240 3m80 m223m -6020 m2及 m 0，得 m =2、10 ,此时直线MN的方程为X = 1，过点D （1 , 0）o40m若 xi = x2，则 m = 2 10，直线MD的斜率kMD80 m2_ 10m240 - 3m2,40 - m22 180 m2-20m直线ND的斜率kND爭卫2，得kMD二kND，所以直线MN过D点。3m2 60 ,40 m2厂-120 m2因此，直线MN必过X轴上的点(1 , 0)。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2，短轴长为 23

6、 . (I)求椭圆C的标准方程;(n)若直线| : y = kx m k = 0与椭圆交于不同的两点 M、N ( M、N不是椭圆的左、右顶点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点 A .求证：直线I过定点,并求出定点的坐标.解:(I)设椭圆的长半轴为 a，短半轴长为b，半焦距为c，则2c =2, 2b = 2/3,a2 =b2 +c2,解得f 一 2厂椭圆c的标准方程为 b 二3,n)由方程组2 2x y143y = kx m消去y，得3 4k2x2 8kmx 4m2 -12 = 0 .由题意2 2 2= (8km) -4(3+4k2 )(4m2-12)0,整理得:2 23 4k - m 0设 M 为，、N X2,y2 ,则28km4m -12N X2 2， X1X2 23 4k23 4k2由已知，AM _AN ,且椭圆的右顶点为 A (2,0),N -2X2 -2yM =0 .10分即 1 k2 x,x2 km-2 x, x2 m2 4 =0,22 4m 128 km 2也即 1 k2 km 22 m 4=0 ,3+4k23 +4k2整理得 7m2 16mk 4k2 =0 .2k解得

7、m二-2k 或m = -7均满足11分当m =2k时，直线I的方程为y二kx-2k，过定点(2,0)，不符合题意舍去;2k当卄-时，直线l的方程为y 二klx ，过定点(2,0),I 7丿7二、定值问题【例2】.已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点 F到短轴端点的距离是 4,椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(I )求椭圆的标准方程和离心率e;(n )若F 为焦点F关于直线y =3的对称点，动点M满足卫匚=e，问是否存在一个定点 A，使M到2 |M|点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由解：(I )设椭圆长半轴长及半焦距分别为a, c,由已知得f解得 a =4, c =2 .a c =6,222 1所以椭圆的标准方程为-1.离心率16 124 2(n ) F(0,2), F (0,1),设 M (x,y),由得佇(_?弓|MF|Jx2+(y-1)2272化简得 3x2 3y2 -14y 15=0,即即 x2 (y)2 =(-)23 372故存在一个定点 A(0,-)，使M到A点的距离为定值，其定值为-.33【例3】.已知抛物线 C的顶点在

8、坐标原点，焦点在 x轴上，P(2, 0)为定点.(I )若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(n )若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在 一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.解: (I )设抛物线方程为y2=2px(p=0)，则抛物线的焦点坐标为 (卫,0).由已知，卫=2,即p=4 ,2 2故抛物线C的方程是y2 =8x .(n )设圆心M(a,b)(a_0)，点A(0, yj , B(0, y?).因为圆M过点P(2, 0)，则可设圆M的方程为 (x -a)2 (y -b)2 =(a -2)2 b2. 令 x = 0 ,得 y2274-4= 0.则 y12b , % y2 二 4a-4.所以 | AB|= .(% - y2)2 二 (y1 y2)2 -4% y 二 4b2 -16a 16 .，设抛物线 C 的方程为2 2y二mx(m = 0)，因为圆心 M在抛物线C上，贝U b二ma .所以| AB 1= ,4ma -16a 1 ,4a(m-4)*16.由此可得，当m = 4时，| AB |= 4为定值.故存在一条抛物2线y =4x，使|AB|为定值4.解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C的离心率e二亍，长轴的左右端点分别为 Ai -2,0 , A 2 2,0。（I）求椭圆C的方程;（H）设直线x =my 1与椭圆C交于P、Q两点，直线AiP与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上?解法一：（I）设椭圆若是，请写出这条直线

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