中国科学大学随机过程复习题及答案汇总
12页1、(1) 设是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为,且是一个周期为的函数,即,求方差函数。解:由定义,有:(2) 试证明:如果是一独立增量过程,且,那么它必是一个马尔可夫过程。证明:我们要证明:,有形式上我们有:因此,我们只要能证明在条件下,与相互独立即可。由独立增量过程的定义可知,当时,增量与相互独立,由于在条件和下,即有与相互独立。由此可知,在条件下,与相互独立,结果成立。(3) 设随机过程为零初值的、有平稳增量和独立增量的过程,且对每个,问过程是否为正态过程,为什么?解:任取,那么有:由平稳增量和独立增量性,可知并且独立因此是联合正态分布的,由可知是正态过程。(4) 设为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并说明理由。解:标准布朗运动的相关函数为:如果标准布朗运动是均方可微的,那么存在,但是:故不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。(5) 设,是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均方意义下,是否存在,为什么?解:泊松过程的转移率矩阵为:其相关函数为:,由于在,连续,故均方积分存在。(6) 在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循
2、环是否有误差有关,以0表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为:试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布平稳分布。解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为。(7) 设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下:a写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程CK方程;b求步转移概率矩阵;c试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么?解:a略 bc此链不具遍历性(8) 设,其中为强度为的Poission过程,随机变量与此Poission过程独立,且有如下分布:问:随机过程是否为平稳过程?请说明理由。由于:故是平稳过程。(9) 设,其中与独立,都服从a此过程是否是正态过程?说明理由。b求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。证明:a任取 ,那么有:由于与独立,且都服从,因此可得服从正态分布,由上式可知随机向量服从正态高斯分布,所以过程是正态高斯过程。b由:由于相关函数不是时间差的函数,因此此过程不是平稳过程。(10) 设,是零初值、强度的泊松过程。a求它的概率转移函数;b令,说明存在,并求它的二阶矩。解:a b先求相关函数:对任意的,在处连续,故均方连续,因此均方可积,存在。将代入计算积分即可。由,得:(1
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