高中不等式例题(超全超经典)
7页1、一 不等式的性质:二不等式大小比较的常用方法:1作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;2作商(常用于分数指数幂的代数式);3分析法;4平方法;5分子(或分母)有理化;6利用函数的单调性;7寻找中间量或放缩法 ;8图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。三重要不等式1.(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)2. (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则 (当且仅当时取“=”)3.若,则 (当且仅当时取“=”);若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)4.若,则(当且仅当时取“=”)注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y3x 2 (2)yx解题技巧:技巧一:凑项 例1:已知,求函数的最大值。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其
2、积为定值。技巧二:凑系数例1. 当时,求的最大值。技巧三: 分离 例3. 求的值域。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x1时取“”号)。技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。2已知,求函数的最大值.;3,求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足,则的最小值是 .分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 都是正数,当时等号成立,由及得即当时,的最小值是6变式:若,求的最小值.并求x,y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。2:已知,且,求的最小值。应用二:利用基本不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数,求证:1)正数a,b,c满足abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8abc例6:已知a、b、c,且。求证:分析:不等
3、式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。解:a、b、c,。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得。当且仅当时取等号。应用三:基本不等式与恒成立问题例:已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。解:令, 。 , 应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若,则的大小关系是 .分析: ( RQ四不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。如(1)解不等式。(答:或);(2)不等式的解集是_(答:或);(3)设函数、的定义域都是R,且的解集为,的解集为,则不等式的解集为_(答:);(4)要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个的值至少满足不等式中的一个,则实数的取值范围是_.(答:)4分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并
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