2015届高考数学(四川专用理科)必考题型过关练:第30练(含答案)
22页1、第30练空间角的突破方略题型一异面直线所成的角例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直线BA1与AC所成的角破题切入点利用|cos,求出向量与的夹角,再根据异面直线BA1,AC所成角的范围确定异面直线所成角还可用几何法或坐标法解方法一因为,所以()().因为ABBC,BB1AB,BB1BC,所以0,0,0,a2.所以a2.又|cos,cos,.所以,120.所以异面直线BA1与AC所成的角为60.方法二 / 连接A1C1,BC1,则由条件可知A1C1AC,从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角,由于该几何体为边长为a的正方体,于是A1BC1为正三角形,BA1C160,从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60.方法三由于该几何体为正方体,所以DA,DC,DD1两两垂直且长度均为a,于是以D为坐标原点,分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,于是有A(a,0,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B(a,a,0),从而(a,a,0),(0,a,a),且|a,a2,cos,120,所以所求异面直线BA1与AC所成角为60.题型二直线与平面所成的角例
2、2如图,已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点(1)证明:PEBC;(2)若APBADB60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值破题切入点平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键,本题可通过建立坐标系,利用待定系数法求出平面PEH的法向量(1)证明以H为原点,HA,HB,HP所在直线分别为x,y,z轴,线段HA的长为单位长度,建立空间直角坐标系(如图),则A(1,0,0),B(0,1,0)设C(m,0,0),P(0,0,n) (m0),则D(0,m,0),E.可得,(m,1,0)因为00,所以PEBC.(2)解由已知条件可得m,n1,故C,D,E,P(0,0,1)设n(x,y,z)为平面PEH的法向量,则即因此可以取n(1,0)又(1,0,1),所以|cos,n|.所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.题型三二面角例3如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(2)证明:平面AMD平面CDE;(3)求
3、二面角ACDE的余弦值破题切入点以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(1)解如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB1,依题意得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M.(1,0,1),(0,1,1),于是cos,.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明由,(1,0,1),(0,2,0),可得0,0.因此,CEAM,CEAD.又AMADA,故CE平面AMD.而CE平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u(x,y,z),则于是令x1可得u(1,1,1)又由题设,平面ACD的一个法向量为v(0,0,1)所以cos u,v.因为二面角ACDE为锐角,所以其余弦值为.总结提高空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(1)异面直线所成的角的范围是(0,求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下:利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊的位置上;证明作出的角即为所求的
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