信息论与编码理论

1、第7章线性分组码1.已知一个(5, 3)线性码C的生成矩阵为：110 0 1G =0 110 10 0 111(1) 求系统生成矩阵；(2) 列出C的信息位与系统码字的映射关系；(3) 求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；(4) 求校验矩阵H；(5) 列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。2. 设(7,3)线性码的生成矩阵如下0101010 -G =00101 1 110 0 110 1(1) 求系统生成矩阵；(2) 求校验矩阵；(3) 求最小汉明距离；(4) 列出伴随式表。3. 已知一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：1 0 0 1 0G =010011.0 0 1110(1) 写出它所对应的监督矩阵H；(2) 求消息M=(101)的码字；(3) 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。4设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组气+尤2 +气=00 110 10 0 1110 0 1111 0 0 1 1 0 0 1 10 110 1将第3加到第2行0 10 100 0 1110 0 111得到线性

2、码C的系统生成矩阵为10011Gs =0101000111(2)码字c = (c0,q, ,c 1)的编码函数为c = f (m) = m01 0 0 1 1- + m1 b 1 0 1 0+ m 2 Io 0 111生成了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3) 最小汉明距离d=2,所以可检1个错，但不能纠错。由G =上，H = 0)，七，得校验矩阵消息序列 ”=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得码字序列0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011, c5=10100,c6=11001, c7=11110则译码表如下：000000011101010011011001110100110011111010000101111101011110100011001000100101110010000111100010001011101111100100011011000001001

3、10010110110010010101011100011111当接收到r =(11101 )时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它 译为 c=01101。2.设(7,3)线性码的生成矩阵如下0101010G =00101 1 110 0 110 1(1) 求系统生成矩阵；(2) 求校验矩阵；(3) 求最小汉明距离；(4) 列出伴随式表。解：(1)生成矩阵G经如下行变换0 10 10 10 -10 0 110 10 0 10 111交换第1、3行0 0 10 11110 0 110 10 10 10 1010 0 110 1 -10 0 110 10 0 10 111交换第2、3行0 10 10 100 10 10 100 0 10 111得到系统生成矩阵：10 0 110G=0 10 10 10S0 0 10 111(2) 由 G = In_k,4x(n_k)，H = kx(n_k)T Jn_k L 得校验矩阵为1 0 1 0 0 0-0 10 10 0110 0 100 1 0 0 0 1(3) 由于校验矩阵H的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距

4、离d=3。(4) (7, 3)线性码的消息序列 ”=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得码字序列：c0=0000000，c1=0010111，c2=0101010，c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010，(7 )一.c6=1100111，c7=1110000o又因伴随式有24=16种组合，差错图样为1的有 =7种，11(7.差错图样为2的有 =21种，而由Htt = Hct，则计算陪集首的伴随式，构造伴2 )随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首000000000000101100100011011000000100110001001010010000011110011000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103.已知一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：100101G =010011_ 001110(1)写出它所对应的监督矩阵H；(2)

5、求消息M=(101)的码字；(3)若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：(1)线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵G”所以其监督矩阵H直接得出:10 110 0H =01 10101100011 0=11 0 1 0 1 1(2)消息 M=(m0,m1,m2)=(101),则码字 c 为：c = f (m) = 11 0 0 10 1+【0 0 1 1(3)收到码字r=(101010)，则伴随式101 011H = (101010 )11000=(001)010_001又(6, 3)线性码的消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得 码字序列：c0=000000，C=001110, c2=010011，c3=011101，c4=100101，c5=101011， c6=110110, c7=111000。伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下:伴随式陪集首000000000101100000011010000110001000100000100010000010001000001111100010伴随式(001)对应陪集首为(000001)，而c=r+e，则由收到的码字,=(101010)， 最有可能发送的码字c为：c=(101011)。4设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组( 尤+ x+ x=0124x+ x+ x=0235x+ x+ x=0136(1) 求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字；(2) 求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为:110 10 0H =01101010 10 0 1因为收到的序列10110为5位，而由（6, 3）线性码生成的码字为6位，所以10110 不是码字。（2）由 G = In _k,气 日）,H = Gxg）T ,、_k ，则生成矩阵为：1 0 0 1 0G = 0 1 0 1 1 0 =气0 0 10 11信息码兀序列M= （ 101），由c=mGs得码字为c：c = m0 （100101）+ m1（010110）+ m2（001011）= （101110）

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