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东南大学数值分析考试要求

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常见问题

1、第一章绪论误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。第二章非线性方程解法简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。第三章线性方程组数值解法（1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。（2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2-范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。（3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。（4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。

2、第四章插值与逼近（1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。（3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。（4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。（5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。（6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。（7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。第五章数值积分与数值微分插值型求积公式:理解插值型求积公式的概念和代数精度的概念，理解插值型求积公式与代数精度的关系，掌握代数精度的求法，熟练使用梯形公式和Simpson公

3、式，能推导梯形公式和Simpson公式的截断误差表达式，了解Cotes公式及其截断误差表达式。复化求积公式：深入理解复化求积的思想，掌握复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式及它们的误差表达形式，理解复化公式阶的概念。Romberg求积法：掌握Romberg算法，了解Richardson外推法的基本思想。Guass求积公式：理解Guass公式的概念，掌握Gauss-Legendre求积公式、一般区间上的Gauss-Legendre求积公式，熟练使用两点和三点Guass公式，了解Guass公式的截断误差。数值微分：掌握插值型求导公式及其截断误差表达式，能够熟练使用两点公式。第六章常微分方程数值解法Euler方法：掌握Euler公式、梯形公式的推导过程，理解局部截断误差和整体误差的概念,理解预测校正的思想，掌握改进的Euler公式，掌握Euer公式和梯形公式的局部截断误差表达式，了解改进的Euler公式的局部截断误差。Runge-Kutta方法：理解Runge-Kutta方法的基本思想，掌握二阶Runge-Kutta公式的推导，了解三阶、四阶Runge-Kutaa公式的表达形式。单步方法的收敛性和稳定性：理解方法收敛性和稳定性的概念，了解收敛性定理和稳定性定理的内容。线性多步法：熟练掌握基于数值积分的构造法，熟悉AB4公式、AM4公式以及Adams预测校正公式，掌握基于Taylor展开的待定系数法，了解线性多步法的收敛性和稳定性条件。第八章偏微分方程数值解法抛物型方程的差分解法：古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson格式的建立、计算、截断误差（五个基本公式）。差分格式稳定性和收敛性：稳定性和收敛性定义；古典显格式稳定性和收敛性的推导、其他格式稳定性和收敛性结论。双曲型方程的差分解法：显格式和隐格式的建立、计算、截断误差、收敛性稳定性结论。椭圆型方程的差分解法：矩形域上差分格式的建立、计算、截断误差；差分格式解的存在唯一性、收敛性结论。

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