（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第5练 如何用好基本不等式 理

1、第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1(1)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为_(2)函数y的最大值为_破题切入点(1)利用基本不等式确定取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x2yz的最大值(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值答案(1)2(2)解析(1)3231，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.(2)令t 0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d，求d的最大值破题切入点(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线

2、段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值解(1)y22px(p0)的准线x，1()，p，抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0)且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立又m满足4m4m20，d的最大值为1.总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“

3、二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到1小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则a，v的大小关系为_答案av解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v0，va.2若函数f(x)x (x2)在xa处取最小值，则a_.答案3解析x2，f(x)xx22224，当且仅当x2，即x3时等号成立，即a3，f(x)min4.3(2014南通模拟)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_答案4解析因为3a3b3，所以ab1.(ab)222 4，当且仅当，即ab时等号成立4已知ma(a2)，nx2(x)，则m与n之间的大小关系为_答案mn解析ma(a2)24(a2)，当且仅当a3时，等号成立由x得x2，nx24即n(0,4，mn.5已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_答案2解析x0，y0，x2y2(当且仅当x2y时取等号)又由x2(xy)可得，而2，当且仅当x2y时，max2.的最小值为2.6已知a0，b0，若不等式0恒成立

4、，则m的最大值为_答案16解析因为a0，b0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16.7若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_答案18解析x0，y0,2xy6xy，26xy，即xy260，解得xy18.xy的最小值是18.8已知a0，b0，函数f(x)x2(aba4b)xab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为_答案16解析根据函数f(x)是偶函数可得aba4b0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由aba4b0，得aba4b4，解得ab16(当且仅当a8，b2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.9若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_答案解析a对任意x0恒成立，设ux3，只需a恒成立即可x0，u5(当且仅当x1时取等号)由u5知0，a.10(1)已知0x1)的最小值解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x)0x，5x0，5x(25x)()21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(2)设x1t，则xt1(t0)，yt52 5

5、9.当且仅当t，即t2，且此时x1时，取等号，ymin9.11如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2 (k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，又k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)00a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标12为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出yf(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为7201 000720 000(元)72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高201 00020 000(元)2(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为yf(x)72x2100x271x100，综上可知yf(x)x271x100(x1，xZ)(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)10x7102 710910.当且仅当10x，即x10时等号成立综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元

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