（江苏专用）高考数学总复习 第六篇 数列、推理与证明《第35讲　数列的综合应用》理（含解析） 苏教版

1、 A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1在等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则_.解析设等比数列an的公比为q(q0)，则由题意得a3a12a2，所以a1q2a12a1q，所以q22q10，解得q1.又q0，因此有q1，故q2(1)232.答案322(2011广东揭阳一模)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为_解析设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.答案23有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要_秒解析设至少需n秒钟，则121222n1100，2n1100，n7.答案74已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以已知等式可化为4a7a0，解得a74或a70(舍去)，又b

2、n为等比数列，所以b6b8ba16.答案165在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么xyz的值为_.2412xyz解析由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，故第四列的公比为，所以y53，同理z64，故xyz2.答案26等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列an的公比为_解析设等比数列an的公比为q(q0)，由4S2S13S3，得4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，即3q2q0，又q0，q.答案7设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 100二、解答题(每小题15分，共45分)8(2010江苏)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列(1)求数列an的通项公式(用n，d表示)；(2)设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整

3、数m，n，k，不等式SmSncSk都成立，求证：c的最大值为.(1)解由题意知，d0，(n1)d(n1)d.又2a2a1a3，所以3a2S3，即3(S2S1)S3，所以3(d)2a1(2d)2，整理，得a12dd20，所以d，a1d2，d(n1)dnd，Snn2d2.当n2时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合n1情形故所求an(2n1)d2.(2)证明由SmSncSk，得m2d2n2d2ck2d2，即m2n2ck2，c恒成立又mn3k且mn，所以2(m2n2)(mn)29k2，即，所以c.故c的最大值为.9(2011山东青岛模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn且满足a23，S636.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn是等比数列且满足b1b23，b4b524.设数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)数列an是等差数列，S63(a1a6)3(a2a5)36.a23，a59，3da5a26，d2.又a1a2d1，an2n1.(2)由等比数列bn且满足b1b23，b4b524，得q38，q2.b1b23，b1b1q3，b11，bn2n1，anbn(2

4、n1)2n1.Tn1132522(2n3)2n2(2n1)2n1，则2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，两式相减，得(12)Tn112222222n222n1(2n1)2n，即Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n2)(2n1)2n(32n)2n3.Tn(2n3)2n3.10定义一种新运算*，满足n*knk1(n，kN*，为非零常数)(1)对于任意给定的k值，设ann*k(nN*)，求证：数列an是等差数列；(2)对于任意给定的n值，设bkn*k(kN*)，求证：数列bk是等比数列；(3)设cnn*n(nN*)，试求数列cn的前n项和Sn.(1)证明因为ann*k(nN*)，n*knk1(n，kN*，为非零常数)，所以an1an(n1)*kn*k(n1)k1nk1k1.又kN*，为非零常数，所以an是等差数列(2)证明因为bkn*k(kN*)，n*knk1(n，kN*，为非零常数)，所以.又为非零常数，所以bk是等比数列(3)解cnn*nnn1(nN*，为非零常数)，Snc1c2c3cn0232nn1，当1时，Sn123n；当1时，Sn2233nn.，得S

5、n.综上，得SnB级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1已知an是等差数列，a115，S555，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为_解析S55a1d，所以51510d55，即d2.所以kPQ2d4.答案42数列an的通项ann2，其前n项和为Sn，则S30为_解析注意到ann2cos，且函数ycos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，anan1an2n2(n1)2(n2)23n，其中n1,4,7，S30(a1a2a3)(a4a5a6)(a28a29a30)310470.答案4703()对正整数n，若曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_解析(等价转化法)由题意，得ynxn1(n1)xn，故曲线yxn(1x)在x2处的切线的斜率为kn2n1(n1)2n，切点为(2，2n)，所以切线方程为y2nk(x2)令x0得an(n1)2n，即2n，则数列的前n项和为222232n2n12.答案2n12【点评】 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.4在数

6、列an中，若aap(n1，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a是等差数列；(1)n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列其中真命题的序号为_(将所有真命题的序号填在横线上)解析正确，因为aap，所以aap，于是数列a为等差数列正确，因为(1)2n(1)2(n1)0为常数，于是数列(1)n为等方差数列正确，因为aa(aa)(aa)(aa)(aa)kp，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列答案5(2011福建省师大附中模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 009a2 010a2 011_.解析观察发现，a2nn，且当n为奇数时，a2n1a2n10，所以a2 009a2 010a2 01101 005.答案1 0056(2011准南模拟)若数列an，bn的通

7、项公式分别是an(1)n2 010a，bn2，且anbn对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是_解析由anbn，得(1)na2.若n为偶数，则a2对任意正偶数成立，所以a2；若n为奇数，则a2对任意正奇数成立，所以a2.故2a.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7在数列an中，an1an2n44(nN*)，a123.(1)求an；(2)设Sn为an的前n项和，求Sn的最小值思路分析由已知条件可推知n应分奇数和偶数解(1)由an1an2n44(nN*)，an2an12(n1)44.an2an2，又a2a1244，a219.同理得：a321，a417.故a1，a3，a5，是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6，是以a2为首项、2为公差的等差数列从而an(2)当n为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)(2144)(2344)2(n1)44213(n1)4422n，故当n22时，Sn取得最小值242.当n为奇数时，Sna1(a2a3)(a4a5)(an1an)a1(2244)2(n1)44a1224(n1)(44)2322(n1)22n.故当n21或n23时，Sn取得最小值243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为242；当n为奇数时，Sn取最小值为243.【点评】 数列中的分类讨论一般有两种：一是对项数n的分类；二是对公比q的分类，解题时只要细心就可避免失误8已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求

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