(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第37练 圆锥曲线中的探索性问题 理
10页1、第37练圆锥曲线中的探索性问题题型一定值、定点问题例1已知椭圆C:1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l交y轴于点M,且,当直线l的倾斜角变化时,探求的值是否为定值?若是,求出的值;否则,请说明理由破题切入点(1)待定系数法(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式,.把,用点A,B的横坐标表示出来,只要证明的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值解(1)依题意得b,e,a2b2c2,a2,c1,椭圆C的方程为1.(2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,又F坐标为(1,0),设直线l方程为yk(x1),求得l与y轴交于M(0,k),设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(34k2)x28k2x4k2120,x1x2,x1x2,又由,(x1,y1k)(1x1,y1),同理,.所以当直线l的倾斜角变化时,直线的值为定值.题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x22py(p0)相交于A
2、,B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求ANB面积的最小值;(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由破题切入点假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解解方法一(1)依题意,点N的坐标为N(0,p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为ykxp,与x22py联立得消去y得x22pkx2p20.由根与系数的关系得x1x22pk,x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2,当k0时,(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为ya,AC的中点为O,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,则OHPQ,Q点的坐标为(,)OPAC,OH|2ay1p|,PH2OP2OH2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa),PQ2(2PH)24(a)y1a(pa)令a0,得a,此时PQp为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y,即抛物线的通径所在的直线方法二(1)前同方法一,再由弦长公式得AB|x1x
3、2|2p,又由点到直线的距离公式得d.从而SABNdAB2p 2p2.当k0时,(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为ya,则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0,将直线方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0,则x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),则有PQ|x3x4| 2.令a0,得a,此时PQp为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y,即抛物线的通径所在的直线题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck:x2y22kx4y210(kR)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程;(2)求AkF1F2的面积;(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由破题切入点(1)根据定义,待定系数法求方程(2)直接求(3)关键看长轴两端点解(1)设椭圆G的方程为1(ab0),半焦距为c,则解得所以b2a2c236279.所以所求椭圆G的方程为1.(2)点Ak的坐标为(
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