(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第46练 不等式选讲 理
9页1、第46练不等式选讲题型一含绝对值不等式的解法例1(2013辽宁)已知函数f(x)|xa|,其中a1.(1)当a2时,求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值破题切入点(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点;划区间、去绝对值号;分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法解(1)当a2时,f(x)|x4|当x2时,由f(x)4|x4|得2x64,解得x1;当2x4时,f(x)4|x4|无解;当x4时,由f(x)4|x4|得2x64,解得x5;所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x),则h(x)由|h(x)|2,解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以于是a3.题型二不等式的证明例2求证下列不等式:(1)设ab0,求证:3a32b33a2b2ab2;(2)a68b6c62a2b2c2;(3)a24b29c22ab3
2、ac6bc.破题切入点(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤:作差;分解因式;与0比较;结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构,利用基本不等式或柯西不等式证明证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0,ab0,3a22b20.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c633a2b2c22a2b2c2,a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab,a29c226ac,4b29c2212bc,2a28b218c24ab6ac12bc,a24b29c22ab3ac6bc.题型三利用算术几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3(1)已知a,b,c均为正数,证明:a2b2c2()26,并确定a,b,c为何值时,等号成立;(2)已知a,b,c(0,),且abc1,求的最大值破题切入点利用算术几何平均不等式或柯西不等式求最值时,首先要观察式子特点,构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式,其次要注意取得最值的条件是否成立解(1)方法一因为a,b,c均为正数,由
3、算术几何平均不等式得a2b2c23(abc),3(abc) ,所以()29(abc) .故a2b2c2()23(abc) 9(abc) .又3(abc) 9(abc) 26,所以原不等式成立当且仅当abc时,式和式等号成立当且仅当3(abc) 9(abc) 时,式等号成立故当且仅当abc3时,原不等式等号成立方法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理,故a2b2c2()2abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时,式和式等号成立,当且仅当abc,(ab)2(bc)2(ac)23时,式等号成立故当且仅当abc3时,原不等式等号成立(2)方法一利用算术几何平均不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18,3,()max3.方法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1,()218,3,当且仅当时,等号成立()max3.总结
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