（江苏专用）高考数学总复习 第六篇 数列、推理与证明《第36讲　合情推理与演绎推理》理（含解析） 苏教版

1、 A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1(2011济宁模拟)观察下列各式918,16412,25916,361620，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为_解析91(12)2124(11)，164(22)2224(21)，259(32)2324(41)，3616(42)2424(51)，一般地，有(n2)2n24(n1)(nN*)答案(n2)2n24(n1)(nN*)2已知数列an满足anlog(n1)(n2)(nN*)，定义使a1a2a3ak为整数的数k(kN*)叫做幸运数，则k1,2 011内所有的幸运数的和为_解析a1a2a3aklog2(k2)为整数，所以k2t2(tN*)，又k1,2 011，所以k2,22,23，210，和为2(2101)2 046.答案2 0463观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶

2、函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)答案g(x)4(2011南京模拟)在共有2 013项的等差数列an中，有等式(a1a3a2 013)(a2a4a2 012)a1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列bn中，相应的有等式_成立解析将等式中加、减换成乘除可得b1 006.故填b1 006.答案b1 0065若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1).类似地，若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则数列为等比数列，通项为_解析由等差数列与等比数列的运算类比，可得b1()n1.答案b1()n16在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.答案187我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A

3、(3,4)，且法向量为n(1，2)的直线(点法式)方程为1(x3)(2)(y4)0，化简得x2y110.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n(1，2,1)的平面(点法式)方程为_(请写出化简后的结果)；解析类比可得1(x1)2(y2)(z3)0，即x2yz20.答案x2yz20二、解答题(每小题15分，共45分)8已知函数f(x)log2(x2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解f(a)f(c)2f(b)证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以ac2.因为b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2.因为f(x)log2x是增函数，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且

4、等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V底面积高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，且DEBA.求证：EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来) 证明(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)BFD与A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFEA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEFA且DFEA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以EDAF.(结论)上面的证明可简略地写成：四边形AFDE是平行四边形EDAF.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2011南通调研)已知55数字方阵中，aij则3ji4_.解析3ji4(a32a33a34a35)

5、(a24a34a44)(1111)(111)1.答案12(2011南京外国语调研)将正奇数排列如图形式，其中第i行第j个数表示aij(iN*，jN*)，例如a329，若aij2 009，则ij_.135791113151719解析根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i行(其中iN*)，则123(i1)1 005，且123i1 005；验证i45时，式成立，所以i45；第45行第1个奇数是24445211 981，而1 9812(j1)2 009，j15；所以，2 009在第45行第15个数，则ij60；答案603(2011苏北调研)如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为_解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21,22,23，的等差数列，所以第13行的公差为212.又每行第一个数分别为1,32120,82222,2023322,4824423,25625524，故第13行第一个数为212122117212，第10

6、个数为7212921216212216.答案216(或65 536)4已知m0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则m的值为_解析x，x，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x，也满足各项乘积为定值1，于是mnn.答案nn5(2010福建)观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推测mnp_.解析m29512，p51050.又m1 2801 120np11，n400.答案9626(2011苏锡常镇扬五市调研)已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，点G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若点M是BCD的三边中线交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_”解析如图，设四面体ABCD的棱长为a，则由M是BCD的重心，得BM a，AMa，设OAR，则OBR，OMaR，于

7、是由R222，解得Ra，所以3.答案3二、解答题(每小题15分，共30分)7定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.解(1)由等和数列的定义，数列an是等和数列，且a12，公和为5，易知a2n12，a2n3(n1,2，)，故a183.(2)当n为偶数时，Sna1a2an(a1a3an1)(a2a4an)2233n；当n为奇数时，SnSn1an(n1)2n.综上所述：Sn8某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形 (1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，.11.

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