高考数学大一轮复习 8.4 直线、平面垂直的判定与性质精练-人教版高三数学试题

1、8.4直线、平面垂直的判定与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面垂直的判定与性质1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2017天津文,17直线与平面垂直的判定与性质的应用异面直线的夹角、线面角2018天津文,17平面与平面垂直的性质的应用异面直线的夹角、线面角2013天津文,17直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定与性质的应用线面平行的判定、线面角分析解读从天津高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化,属中档题.破考点【考点集训】考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2013北京文,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不

2、同取值有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案B2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA=AC.过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面PAB平面PBC;(2)若PC平面AEFG,求PFPC的值;(3)直线AE是否能与平面PCD平行?请说明你的理由.解析(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABC.因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC,因为ABPA=A,所以BC平面PAB.因为BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC.(2)连接AF.因为PC平面AEFG,所以PCAF.又因为PA=AC,所以F是PC的中点,所以PFPC=12.(3)直线AE与平面PCD不可能平行.理由如下:假设AE平面PCD.因为ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD,所以AB平面PCD.而AE,AB平面PAB,且ABAE=A,所以平面PAB平面PCD,这显然与平面PAB与平面PCD交于点P相矛盾,所以假设不成立,即直线AE与平面PCD不可能平行.思路分析(1)根据面面垂直的判定定理易证.(2)根据线面垂直的

3、性质及等腰三角形的性质可求PFPC.(3)反证法:假设AE平面PCD,易证AB平面PCD,进而推出平面PAB平面PCD,与已知相矛盾,从而证得结论.解后反思本题考查了空间中的垂直与平行关系,熟练掌握相关定理是解题的关键.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.四边形ABCD是直角梯形,ABDC,ADDC,AB=5,AD=4,DC=3.(1)求证:AB平面PDC;(2)当平面PBC平面ABCD时,求四棱锥P-ABCD的体积;(3)请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC垂直,并给出证明.解析(1)证明:因为ABDC,且AB平面PDC,DC平面PDC,所以AB平面PDC.(2)取BC的中点F,连接PF.因为PB=PC,所以PFBC,因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,所以PF平面ABCD.在直角梯形ABCD中,过C作CHAB于点H.因为ABDC,且ADDC,AD=4,DC=3,AB=5,所以CHAD,所以四边形ADCH为平行四边形,所以AD=CH,DC=AH,所以BC=BH2+HC2=25,且S

4、梯形ABCD=12(3+5)4=16.又因为PB=3,BF=5,所以PF=2.所以VP-ABCD=13S梯形ABCDPF=13162=323.(3)PABC.证明如下:连接AF,AC.在直角梯形ABCD中,因为ABDC,且ADDC,AD=4,CD=3,所以AC=5.因为AB=5,点F为BC的中点,所以AFBC.又因为BCPF,AFPF=F,所以BC平面PAF.又因为PA平面PAF,所以PABC.炼技法【方法集训】方法1证明线面垂直的方法1.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案C2.如图,在三棱锥D-ABC中,已知BCD是正三角形,AB平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.(1)求三棱锥D-ABC的体积;(2)求证:AC平面DEF;(3)若M为DB的中点,N在棱AC上,且CN=38CA,求证:MN平面DEF.解析(1)因为BCD是正三角形,且AB=BC=a,所以SBCD=34a2.又AB平面BCD,所以VD-ABC=VA-BCD=13SB

5、CDAB=1334a2a=312a3.(2)证明:在底面ABC中,取AC的中点H,连接BH,因为AB=BC,所以BHAC.因为AF=3FC,所以F为CH的中点.又因为E为BC的中点,所以EFBH,则EFAC,因为AB平面BCD,AB平面ABC,所以平面ABC平面BCD.因为BCD是正三角形,E为BC的中点.所以DEBC,则DE平面ABC.因为AC平面ABC,所以DEAC.又DEEF=E,且DE,EF平面DEF,所以AC平面DEF.(3)证明:当CN=38CA时,连接CM交DE于O,连接OF.因为E为BC的中点,M为DB的中点,所以O为BCD的重心,则CO=23CM.因为AF=3FC,CN=38CA.所以CF=23CN,所以COCM=CFCN=23,所以MNOF.又OF平面DEF,MN平面DEF,所以MN平面DEF.思路分析(1)由VD-ABC=VA-BCD求解即可;(2)在底面ABC中,取AC的中点H,连接BH,由题意证明EFAC,利用面面垂直的性质定理证明DE平面ABC,则可得DEAC,即可证得结论;(3)连接CM,OF,设CMDE=O,易证CO=23CM,CF=23CN,则MNOF

6、,从而证得结论.方法点睛本题主要考查空间几何体的体积,直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质以及直线与平面平行的判定,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.方法2证明面面垂直的方法3.(2016北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC平面ABCD,DC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,AB平面ABCD,所以PCAB.(7分)又ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.(10分)理由如下:如图,取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,

7、EF平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)思路分析(1)证出PCDC,从而证得DC平面PAC.(2)先证ABAC,PCAB,从而证出AB平面PAC,进而由面面垂直的判定定理可证得结论.(3)此问为探究性问题,求解时可构造平面CEF,使得PA平行于平面CEF内的一条直线,由于点E为AB的中点,所以可取PB的中点,构造中位线.4.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB平面FAC;(2)求三棱锥P-EAD的体积;(3)求证:平面EAD平面FAC.解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF,在PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OFPB,又因为OF平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC.(2)解法一:因为PA平面ABCD,AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为ABAD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以AD平面PAB,即AD为三棱锥D-PAE的高,在RtPAB中,PA=AB=2,E为PB的中点,所以SPAE=1,又底面ABCD为正方形,所以AD=AB=2

8、,所以VP-EAD=VD-PAE=13SPAEAD=23.解法二:因为PA平面ABCD,所以PA为四棱锥P-ABCD的高.因为PA=AB=2,底面ABCD是正方形,所以VP-ABD=13SABDPA=1312222=43,因为E为PB的中点,所以SPAE=SABE,所以VD-PAE=VD-ABE=12VD-PAB,所以VP-EAD=12VP-ABD=23.(3)证明:因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,AE,AD平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以OF平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.方法3翻折问题的处理方法5.(2015浙江,8,5分)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD翻折成ACD,所成二面角A-CD-B的平面角为,则()A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB答案B6.如图所示,已知直角ABC,其中ABC=90,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将ADE翻折,使得A与平面ABC外一点P重合,得到如图所示的几何体.(1)证明:平面PBD平面BCED;(2)记平面PDE与平面PBC的交线为l,探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.解析(1)证明:D,E分别为边AB,AC的中点,DEBC,ABC=90,ABBC,BDDE,PDDE,PDBD=D,PD,BD平面PBD,DE平面PBD,DE平面BCED,平面PBD平面BCED.(2)平行.证明如下:DEBC,DE平面PDE,BC平面PDE,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PDE平面PBC=l,lBC.过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2018天津文,17,1

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