八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案初中教育

1、,AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。7(SAS)PBPM在PCM中，CMPMPCABACPBPC。BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。8同步练习的答分线。思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线BDE 入 手 ， 全 等 条 件 只 有AC BD ；由 AE BF 两边同时减去 EF 得到 AF BE 个全等条件，可以是CF DE ，也可以是 A B 。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记： “有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不 一定全等。例1. 如图， A,F ,E,B 四点共线， AC CE ，BD DF ，AE BF ，AC BD 。求证：ACF BDE 。思 路 ： 从 结 论 ACF，又得到一个全等条件。还缺少一由条件 AC 可以证明 ACE证明 ACACECE ，BD DF 可得 BDF ，从而得到CE ，BD DFBDF 90ACE BDFA B 。90 ，再加上 AE BF ，AC BD ，在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AE BFAC BD Rt ACE A B AE BFAE E

2、FRt BDF (HL)BF EF ，即 AF BE在 ACF 与 BDE 中AF BE A BAC BDACF BDE (SAS)思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看 还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得 出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结： 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件， 而且告诉我们如何去分析 一个题目，得出解题思路。例2. 如图，在 ABC 中， BE 是ABC 的平分线， AD BE ，垂足为 D 。求证：2 1 C 。1CA，PEAC于E，PFBN于FPEPFPDPE，PEPFP光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看思路：直接证明 2 1 C 比较困难，我们可以间接证明， 即找到 ，证明 2且 1 C 。也可以看成将 2 “转移”到 。那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将 AD 延长交 BC 于 F ，则构

3、造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2= DFB ，可以由三角形外角定理得 DFB= 1+ C。证明：延长 AD 交 BC 于 F在 ABD 与 FBD 中ABD FBD BD BD ADB又 DFBABD FBD (ASAFDB 901 C 2 1 C 。2 DFB思考 ：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 如图， 在 ABC 中， AB BC ， ABC 90 。F 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 上，BE BF ，连接 AE,EF 和CF 。求证： AE CF 。思路： 可以利用全等三角形来证明这两条线段相等， 关键是要找到这两个三角形。 以线段 AE 为边的 ABE 绕点 B 顺时针旋转90 到 CBF 的位置，而线段CF 正好是 CBF 的边，故只要证明它们全等即可。 证明： ABC 90 ， F 为 AB 延长线上一点ABC CBF 90在 ABE 与 CBF 中 AB BC ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF 。思考 ：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结

4、： 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三 角形。 这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助 线构造全等三角形。26.如图，在ABC中，C90，ABC的平分线BD交AC于点D为D。求证：21C。1思路：直接证明21C比较困难，我们可以SAS)AECF。思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三件是()5A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对例 4. 如图， AB /CD ， AD / BC ，求证： AB CD 。思路： 关于四边形我们知之甚少， 通过连接四边形的对角线， 可以把原问题转化为全等三 角形的问题。证明：连接 AC AB / CD ， AD / BC 1 2 ， 3 4在 ABC 与 CDA 中1 2 AC CA 4 3ABC CDA (ASA)AB CD 。思考 ：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例 5. 如图， AP,CP 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的平分线，它们交于点 P 。求证：BP 为 MBN 的平分线。思路： 要证明“ BP 为 MBN 的平分线”，可以

5、利用点 P 到 BM ,BN 的距离相等来证明， 故应过点 P 向 BM ,BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“ AP,CP 分别是 MAC 和NCA 的平分线”，也需要作出点 P 到两外角两边的距离。证明：过 P 作 PD BM 于 D ，PE AC 于 E ，PF BN 于 F AP 平分 PD PE CP 平分MAC ，PD BM 于 D ，PE AC 于 ENCA ，PE AC 于 E ，PF BN 于 FPE PF PD PE ，PE PF PD PF PD PF ，且 PD BM 于 D ，PF BN 于 FBP 为 MBN 的平分线。思考：题目已知中有角平分线的条件， 或者有要证明角平分线的结论时， 常过角平分线上的 一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。3再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在AB上截取AN例 6. 如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，

6、且CD AB ， ADB BAD ，AE 是 ABD 的中线。求证： AC 2AE 。思路： 要证明“ AC 2AE ”，不妨构造出一条等于 2AE 的线段，然后证其等于 AC 。因此，延长 AE至 F ，使 EF AE。证明 ：延长 AE 至点 F ，使 EF AE ，连接 DF在 ABE 与 FDE 中AE FE AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDF ADF ADB EDF ，ADCBADB又 ADB BADADF ADC AB DF ， AB CD DF DC在 ADF 与 ADC 中AD AD ADF ADC DF DCADF ADC (SAS)AF AC又 AF 2AEAC 2AE 。思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形， 继而得出一些线段和角相等，甚至可以证 明两条直线平行。例 7. 如 图 ，在 ABC 中 ， AB AC ， 1 2 ， P 为 AD 上任 意一 点 。求证 ：AB AC PB PC 。4应相等D.斜边相等2.根据下列条件，能画出唯一ABC的是()P分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边，连接PM在ABP

7、与AMP中ABAM12APAPABPAMP段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。例7.如图，在ABC中原图 法一图 法二图思路： 欲证 AB AC PB PC ，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差， 故用两边之差小于第三边来证明， 从而想到构造线段 AB AC 。而构造 AB AC 可以采用“截长”和“补短”两种方法。证明：法一：在 AB 上截取 AN AC ，连接 PN在 APN 与 APC 中AN AC 1 2AP APAPN APC (SAS)PN PC在 BPN 中， PB PN BNPB PC AB AC ，即 AB ACPB PC。法二：延长 AC 至 M ，使 AM AB ，连接 PM在 ABP 与 AMP 中AB AM 1 2AP APABP AMP (SAS)PB PM在 PCM 中， CM PM PCAB AC PB PC 。思考 ：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是： 在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外 的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证 明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结： 本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )5；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点m；7.如图，已知ABDC，ADBCAEB100，ADB30AD，增加下列条件：ABAE；BCED；CD；BE。A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一 ABC 的是( )A. AB 3 ，BC 4 ，CA 8 B. AB 4 ， BC 3 ， A 30C. C 60 ， B 45 ， AB 4 D. C 90 ， AB 63. 如图，已知 1 2 ， AC AD ，增加下列条件： AB AE ； BC ED ； C D ； B E 。其中能使 ABC AED 的

《八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案初中教育》由会员资****分享，可在线阅读，更多相关《八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案初中教育》请在金锄头文库上搜索。