2022年北京大学优秀中学生物理学科探究拓展试题（含答案详解）

1、1北京大学北京大学 2022022 2 年优秀中学生物理学科探究拓展试题年优秀中学生物理学科探究拓展试题1.如图所示，半径为R的圆柱体固定在水平面内，一根长度为L，不可伸长的细线一端固定在圆柱体底端边缘的A点，开始时细线处于伸直状态且与圆柱在A点相切，将一质点P系在细线的另一端，在0t 时刻使质点获得与细线相垂直的初速度0v.质点开始在水平面内运动，细线逐渐绕在圆柱上。已知重力加速度的大小为g.（1）建立如图所示的直角坐标系，以为参量（是绕在圆柱上的那一段细线所张的圆心角用弧度做单位），写出质点运动轨迹参数方程()x,()y；（2）假定质点最终与圆柱相接触，细线全部绕在圆柱上，求质点运动轨迹曲线的长度S；（3）假定水平面光滑，求从开始到质点与圆柱相接触需用多长时间？（4）假定质点与水平面之间的滑动摩擦系数为，再求质点在平面上运动的时间。2.两段光滑的导轨相连，如图所示。初速度为零的质点，沿固定的光滑轨道下滑。轨道由AB和BC两段组成，其中AB为直线、BC为圆弧，圆弧在B点的切线沿BA方向，2圆弧在C点的切线沿水平方向。已知AB和BC轨道的长度之比为 1：2，与圆弧相对应的圆的半径为R，

2、两段轨道的总长度远远小于R，重力加速度的大小为g.（1）试求质点从A运动到B需要多长时间？（2）在轨道末端C处固定一个竖直挡板。为使质点与挡板发生碰撞后，质点能沿CB轨道运动到B点恰好速度为零，则质点与挡板碰撞的恢复系数e应为多大？（3）从质点与挡板发生第 1 次碰撞，到质点与挡板发生第 2 次碰撞，之间的时间间隔由多长（假定碰撞时间很短，可以忽略）？（4）按照第(2)问的恢复系数值，质点最终将会停在C点，求质点从开始运动到最后停在C点所经过的总路程是AB距离的多少倍？3.如图所示，一圆柱形电容由一根半径为a的金属圆棒和一个内径为b的金属圆柱壳组成，将其一端竖直插入一个相对介电常数为，密度为的液体介质中，设液体的液面3很大，圆柱形电容器插入液体的深度为0h，在电容器上加电压0V，设液体是绝缘体，液体中不存在传导电流，不考虑液体的表面张力和液体与金属界面的附着力。（1）圆柱筒中液体平衡后，如果给圆柱筒中液体一个微扰，圆柱筒中液体振动起来，设振动时液面保持水平，求振动频率。（2）在电容器上加电压为：00cos,VVtV，改变大小，当时0，圆柱筒中液体振动幅度最大，求0h.4.等离子体振荡：

3、当温度从低到高变化时，通常物质会经历固体、液体和气体三种状态：当温度进一步升高，气体中的原子、分子将出现电离，形成电子、离子组成的体系，这种由大量带电粒子（有时还有中性粒子）组成的体系便是等离子体。等离子体在宏观上4具有强烈保持电中性的趋势，如果由于某种原因引起局部的电荷分离，就会产生等离子体振荡现象。其原理如图，考虑原来宏观电中性的、厚度为l的等离子体薄层，其中电子受到扰动整体向上移动一小段距离()x xl，这样在上、下表面就可分别形成厚度均为x的负、正电薄层，从而在中间宏观电中性区域形成匀强电场E，其方向已在图中示出。设电子电量为(0)e e、质量为em、数密度（即单位体积内的电子数目）为m；并设如下各问中，电荷运动及电场变化所激发的磁场及磁相互作用均可忽略不计。（1）求该匀强电场的大小E；（2）假定此后电子保持整体运动，且其运动对正离子的反冲及其与正离子之间的碰撞均可忽略不计。试说明这种整体运动为简谐振动，并求解振动角频率p的表达式。（结果用参量0enem、表达）（3）在图示原等离子体薄层所在区域及其周边施加x方向交变外电场0()cos()xE tEt，其中0E、为已知常量。忽略

4、正离子的运动，但考虑因电子与正离子的碰撞所带来的能量损耗，其效果可以等价为平均作用于每个电子上的线性速度阻尼力2efmx，其中为已知常量。（3.1）仍假定此后电子保持整体运动，且其稳态振动振幅Al，试求该振幅A；（3.2）将等离子体看作是一种电介质，即将交变电场作用下等离子体内部正、负电荷的相对移位看作是”极化“效应，试求解如上交变电场中等离子体薄层对应的复相对介电常量r。5.二维电子气室目前描述电子器件中与电现象相关问题的常用模型。现有一个器件，它的表面是边长为的正方形，其中电子的数目为N，每个电子的质量为em，电量为e，电子的平均动能；若该器件的电子气中电子的面密度为n，求：5（1）在低速近似条件下，该电子气系统的压强p的表达式；（2）从边缘上线度为l的狭缝泄流出的电子的速度分布律（速率分布律）；（3）这些泄流出的电子形成的电流的电流强度I。补充：高斯积分公式2012xedx2012xxedx223014xx edx232012xx edx245038xx edx25301xx edx6.菲涅尔衍射。空间有A和B两点，A点放置点光源，辐射单色光，波长为500nm，在AB连线上放置一

5、个衍射小孔，小孔垂直AB连线，并且小孔圆心在直线上，已知100ABcm，观察屏置于B点，观察A点的光强的变化。（1）小孔的半径可以从 0 到1nm精密调节，点的光强最少变化多少个周期。（2）如果不知道小孔的半径，我们可以这样测量，开始小孔位于AB的中点，如果此时B点为光强极小，现在沿AB直线平移小孔，B点光强慢慢变强，移动了10cm，B点光强达到极大，求小孔的半径。7.一个测量核电荷半径的方法是研究奇异原子的特征X射线。已知200emm.（1）假设在点核（带电荷为Ze的核）场中，计算能级。6（2）假设完全在核内（核是电荷为Ze的均匀带电球，半径R），计算能级。（3）用（1）和（2）中的近似，估计介子20882Pb的KX射线的能量。（4）谈论并分析上述近似结果。8.电桥实验（1）右图是惠斯登电桥测电阻的原理图。图中电阻12RR、称为比例臂；0R为可调标准电阻，也叫比较臂，通常采用电阻箱；xR为待测电阻。在电路的对角接点BD、间接入检流计G，作为电桥平衡的指示器。调节可调电阻的大小使检流计示数为零，则电桥达到平衡。（1.1）写出实验中计算待测电阻xR阻值的表达式。（1.2）接通电路的过程中

6、，图中的两个开关bS和gS应该先合上哪一个？断开电路时，应该先断开哪一个？（1.3）实验中可调电阻hR与检流计G串联，其主要作用是什么？实验过程中其阻值应如何设置？（2）实际使用的一种携带式直流电桥的面板和内部结构分别如下图中左图和右图所示。该电桥比例臂采用十进制固定值，由面板左上角旋钮调节，分为0.001/0.01/0.1/1/10/100七档。比较臂为一个四钮电阻箱，四个旋钮分别对应1000/100/10/1 四挡。7（2.1）如果电桥平衡时比例臂和电阻箱示数如图中所示，则待测电阻值xR为多少？（2.2）如果待测电阻的阻值约为30，则比例臂应选择哪一档？如果待测电阻的阻值约为60k，则比例臂应选择哪一档？为什么？（2.3）如内部结构图所示，电桥的不同档比例通过八个串联的高精度固定电阻实现，从不同位置引出引线可获得相应比例臂。已知这八个固定电阻的总阻值为1000.000，写出这 8 个电阻的阻值（按从上到下，要求精准到0.001）。（3）上述电桥电路还可以推广到交流元件的测量中。右图是测量一个实际电容的参数的电路图，电源为正弦波信号发生器，正弦信号的频率为1fkHz，振幅为01UV。由于实际电容中的电介质不是理想介质，会损耗一部分能量，因此可以把实际电容等效看作是一个理想电容xC和一个损耗电阻cR的串联。电路中的可调电容箱0C、可调电阻箱12RR、和0R均视为理想。8（3.1）设定12100.00,1000.0RR，调节00CR、使交流毫伏表示数达到零，此时000.223535.1CFR、，则待测电容的电容值xC和损耗电阻cR是多少？（3.2）理想电容器两端的电压与流过的电流之间存在 90 度的相位差，而实际电容由于存在一定的损耗，这个相位差对 90 度会有一个偏离，这个偏离角称为损耗角。电容损耗越大，则损耗角也越大。为了方便，用损耗角的正切值表示损耗，请写出待测电容的损耗表达式（用xcCR、和题中给出的其它必要参量表示）。根据测量结果，待测电容的损耗是多少？9北京大学北京大学 2022022 2 年优秀中学生物理学科探究拓展试题解答年优秀中学生物理学科探究拓展试题解答1、102、11123、13144、155、1617186、解：（1）由菲涅尔半波带法，假设最多一共 k 个半波带，19207、218、2223

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