2023年全国高中数学奥林匹克竞赛预赛一试(A)卷参考答案及评分标准
5页1、 1 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨暨 2023 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 一试(一试(A 卷)参考答案及评分标准卷)参考答案及评分标准 说明:说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档;其他各分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次,第分为一个档次,第10、11 小题小题 5 分为一个档次,不得增加其他中间档次分为一个档次,不得增加其他中间档次 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分 1.设复数910iz (i为虚数单位),若正整数n满足2023nz,则n的最大值
2、为 答案答案:2 解解:22910181nnnnzz因21812023z,而当3n时,181132023nnnz,故n的最大值为2 2.若正实数,a b满足lg2ba,lglg5abab,则lg()abab的值为 答案答案:20 解解:因为lglglglg102aabbba,所以 lglglglglglglg()()()52220abababbaabababab 3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次,所得的点数依次记为,x y z,则事件“777CCCxyz”发生的概率为 答案答案:127 解解:由于162534777777CCCCCC,因此当,1,2,3,4,5,6x y z时,事件“777CCCxyz”发生当且仅当“1,6,2,5,3,4xyz”成立,相应的概率为321627 4.若平面上非零向量,满足 ,2|,3|,则|的最小值为 答案答案:2 3 解解:由 ,不妨设(,0),(0,)ab ,其中,0a b,并设(,)x y ,则由2|得2bya,由3|得3axb 所以2232|222 3baxyxyab 取3,2ab,此时6xy,|取到最小值2 3 2 5.方程sincos2xx的
3、最小的20个正实数解之和为 答案答案:130 解解:将2cos212sinxx 代入方程,整理得(2sin1)(sin1)0 xx,解得 532,2,2()662Zxkkkk 上述解亦可写成2()36Zkxk,其中0,1,19k 对应最小的20个正实数解,它们的和为1902219202013036326kk 6.设,a b c为正数,ab 若,a b为一元二次方程20axbxc 的两个根,且,a b c是一个三角形的三边长,则abc 的取值范围是 答案答案:7,518 解解:由条件知2222()()()axbxca xa xbaxaab xa b,比较系数得22,baab ca b,故24,11aabcaa,从而 24231aaabcaaaaa 由于201aaba,故112a此时显然0bc 因此,,a b c是一个三角形的三边长当且仅当acb,即4211aaaaa,即2(1)0a aa,结合112a,解得15122a 令23()f xxxx,则()abcf a 显然当0 x时()f x连续且严格递增,故abc 的取值范围是151,22ff ,即7,518 7.平面直角坐标系xOy中,已
4、知圆与x轴、y轴均相切,圆心在椭圆2222:1(0)xyabab 内,且与有唯一的公共点(8,9)则的焦距为 答案答案:10 解解:根据条件,可设圆心为(,)P r r,则有222(8)(9)rrr,解得5r 或29r 因为P在内,故5r 椭圆在点(8,9)A处的切线为2289:1xylab,其法向量可取为2289,nab 由条件,l也是圆的切线,故n与PA平行,而(3,4)PA,所以223227ab 又2264811ab,解得22160,135ab从而的焦距为22210ab 3 8.八张标有,A B C D E F G H的正方形卡片构成下图现逐一取走这些卡片,要求每次取走一张卡片时,该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边(例如可按,D A B E C F G H的次序取走卡片,但不可按,D B A E C F G H的次序取走卡片),则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ABCDEFGH 答案答案:392 解解:如左下图重新标记原图中的八张卡片现将每张卡片视为顶点,有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边,得到一个八阶图,该图可视为右下图中的2mn 阶图(,)G m n在3,3mn时
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