2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛浙江赛区初赛试题+答案
9页1、2023 年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共本卷共 1515 道题目,道题目,1212 道填空题,道填空题,3 3 道解答题,所有答案填写在答题纸上,满道解答题,所有答案填写在答题纸上,满分分150150 分。分。一、填空题(每小题一、填空题(每小题 8 8 分,共计分,共计 9696 分)分)1.1.已知集合220SxxxaR,若1S,则实数a _。答案答案:1.解 将1代入方程220 xxa,得1a 2 2.函数(sin1)(cos1)()sin cos2xxf xxx在(0,上的最小值为_。答案答案:32 2.解 令sincos,12,txxt 则则2()132 21f xt。3 3.已知四面体SABC,点1A为三角形SBC的重心,G在线段1AA上,13AGGA,连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则1AMAS_。答案答案:13.解解 由于1SAGMA、共面,知M为三角形ABC的重心,由此得1AMAS13。4.4.已知关于x的方程22221232123xxxxxa存在四个不同的实根,则实数a的取值范围为_。答案答案:(4,8)解解2222212321232xxx
2、xxxxa将原方程变形程为22221(21232123)22axxxxxxx22max2,1232axxxx2212max2,1232axxxx考虑函数y与y的交点个数2424,822aaxyxyxa可知y于与时达到极值,所以2即45.设函数()(f z z为复数)满足2()()f f zzzzz。若(1)0,f则()1f i _答案答案:1.解(i)1,(i)(1)0,ffffff于是另一方面2(i)=()()()()f f ff i f if if i(,所以()()()()0,()1)()1)1,()11f i f if if if if if i即(即6.已知,m n k为正整数,若存在正整数对(,)a b 满足222(1)4()44(1)3a nma nmab k,则mnk 可能值的个数为_。答案答案:4222(2)(2)(1)3,mna nb k解 配方得得到以下情况:20,20,10(,)(1,2,1)mnnkm n k 21,20,10,mnnk 无整数解20,21,10,mnnk 无整数解20,20,11(,)(1,2,2)mnnkm n k 21,20,11,mnn
3、k 无整数解20,21,11,mnnk 无整数解21,21,10(,)(2,3,1),(1,3,1),(1,1,1)mnnkm n k mnk综上,的可能值为3,4,5,67.已知,a b cC,且2223333,6,abcabcabc则202320232023(1)(1)(1)abc_。答案答案:0解由已知可以得到3(1)1a,3(1)1b,3(1)1c,结合已知条件可得202320232023(1)(1)(1)0abc8.8.已知数列na满足111,1,2,32(21)(25)nnnaaannna,则20231iia_。答案答案20234047解由已知得2211111(4(11)=(41)=(41)nnnnnaaa)2()2()=0,所以20232112023,1,2,414047niianan9.9.设,a b 为两个垂直的平面向量,且210ab。当01t 时,记向量(1)tat b与向量1()(1)5tat b最大夹角为,则cos_。答案:2 55解解 设(0,10),(5,0)ab,则(1)(5(1)10)tat btt,1()(1)(5(1)102)5tat btt,210
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